自动控制原理6.4：前馈校正

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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4.前馈校正

4.1 前置滤波组合校正

为了改善系统性能，在系统中常引入形如$G_c(s)=(s+z)/(s+p)$的串联校正网络，以改变系统的闭环极点；但$G_c(s)$同时会在系统闭环传递函数$\Phi (s)$中增加一个新的零点，这个新增的零点可能会严重影响闭环系统的动态性能；此时，可考虑在系统的输入端串联一个前置滤波器，以消除新增闭环零点的不利影响；

实例分析：

$Example1：$ 设带有前置滤波器的控制系统如下图所示，其中，被控对象为$G_0(s)=\frac{1}{s}$，串联校正网络为$\mathrm{PI}$控制器，$G_c(s)=K_1+\frac{K_2}{s}=\frac{K_{1}s+K_2}{s}$，$G_p(s)$为前置滤波器。

系统设计要求为：

1. 系统阻尼比${\zeta }_d=\frac{1}{\sqrt{2}}=0.707$；
2. 阶跃响应超调量$\sigma \%\le 5\%$；
3. 阶跃响应的调节时间$t_s\le 0.6\mathrm{s}(\Delta =2\%)$；

试设计$K_1，K_2，G_p(s)$；

解：

系统的闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{(K_{1}s+K_2)G_p(s)}{s^2+K_{1}s+K_2}$$
闭环系统特征方程为：
$$s^2+K_{1}s+K_2=s^2+2{\zeta }_d{\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$$
根据系统对阻尼比和调节时间的要求，令${\zeta }_d=0.707$，且
$$t_s=\frac{4.4}{{\zeta }_d{\omega }_n}\le 0.6(\Delta =2\%)$$
可得：${\zeta }_d{\omega }_n\ge 7.33$，取：${\zeta }_d{\omega }_n=8$，可得：${\omega }_n=8\sqrt{2}$；可得$\mathrm{PI}$控制器参数为：
$$K_1=2{\zeta }_d{\omega }_n=16,K_2={\omega }_n^2=128$$
若不引入前置滤波器，相当于$G_p(s)=1$，则系统的闭环传递函数为：
$$\Phi (s)=\frac{16(s+8)}{s^2+16s+128}=\frac{{\omega }_n^2}{z}\frac{s+z}{s^2+2{\zeta }_d{\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
此时系统为有零点二阶系统，根据：${\zeta }_d=1/\sqrt{2}，{\omega }_n=8\sqrt{2}，z=8$，根据公式可得：
$$c(t)=1+r{\mathrm{e}}^{-{\zeta }_d{\omega }_{n}t}\sin ({\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}t+\psi )$$
计算其中参数：
$$\begin{array}{rl}& r=\frac{\sqrt{z^2-2{\zeta }_d{\omega }_{n}z+{\omega }_n^2}}{z\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}=1.41，{\beta }_d=\arctan \frac{\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}{{\zeta }_d}=\frac{\pi }{4}\\ & \\ & \psi =-\pi +\arctan \left(\frac{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}{z-{\zeta }_d{\omega }_n}\right)+\arctan \left(\frac{\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}{{\zeta }_d}\right)=-\frac{\pi }{4}\end{array}$$

无前置滤波器时，系统的动态性能如下：
$$\begin{array}{rl}& t_r=\frac{0.75}{{\omega }_n}=0.07s\left(\frac{z}{{\zeta }_d{\omega }_n}=1,{\omega }_n{t}_r=0.75\right)\\ & \\ & t_p=\frac{{\beta }_d-\psi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}=0.2s\\ & \\ & \sigma \%=r\sqrt{1-{\zeta }_d^2}{\mathrm{e}}^{-{\zeta }_d{\omega }_n{t}_p}\times 100\%=20.0\%\\ & \\ & t_s=\frac{4+\ln r}{{\zeta }_d{\omega }_n}=0.54s(\Delta =2\%)\end{array}$$
由于新增零点的影响，超调量无法满足设计指标要求；

考虑采用前置滤波器$G_p(s)$来对消闭环传递函数$\Phi (s)$中的零点，同时保持系统原有的直流增益$\Phi (0)$不变，取：
$$G_p(s)=\frac{8}{s+8}$$
闭环传递函数变为：
$$\Phi (s)=\frac{128}{s^2+16s+128}$$
此时，系统属于无零点的二阶系统；
$$\beta =\arccos \zeta =\frac{\pi }{4}，{\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}=8$$
此时系统的动态性能指标：
$$\begin{array}{rl}& t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}=0.29\mathrm{s}，t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}=0.39\mathrm{s}\\ & \\ & \sigma \%={\mathrm{e}}^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%=4.3\%，t_s=\frac{4.4}{\zeta {\omega }_n}=0.55\mathrm{s}(\Delta =2\%)\end{array}$$

可知，系统设计指标要求全部满足；

4.2 最小节拍组合校正(简单了解)

最小节拍响应：指以最小的超调量快速达到并保持在稳态响应允许波动范围内的时间响应；

当系统输入为阶跃信号时，允许波动范围取为稳态响应的$\pm 2\%$误差带，系统的调节时间就是响应首次进入波动带的时间；

最小节拍响应的特征：

• 在阶跃输入作用下，稳态误差为零；
• 阶跃响应具有最小的上升时间和调节时间；
• 阶跃响应超调量$<2\%$；