『C#』如何用递归计算斐波那契数列的第 100000 项 ?

本文最后更新于 2019年 5月 6号 下午 4点 16分，并同步发布于 :

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声明 : 请不要使用本文的代码直接用于实际项目，本文的目的是以这个示例给读者提供一点编程上的思路

本文假设读者有对如下概念有所了解 :

• 委托
• Lambda 表达式
• 函数柯里化
• 本地函数

如何用递归计算斐波那契数列的第 100000 项 ?
有的同学可能会说 : 那还不简单, 不到一分钟便写出了如下代码 :

public static int Fibonacci(int n)
{if (n == 1 || n == 2){return 1;}return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

或者 :

public static int Fibonacci(int n)=> n <= 2? 1: Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);

先测试一下斐波那契数列的第 10 项试试 :

再试试第 50 项 :

结果竟然是负数 ? 不过仔细一想, 是因为结果值超出了 int 类型的存储范围。而且用了 一分多钟 的时间 ！

第 100 项呢 :
emmmmmmm… … 由于我生命有限, 就不测试这个了, 估计我睡完一觉了还没得出结果 orz

如果计算更大的项时, 很可能出现下面的情况 : (具体多大的项 因电脑配置而异)

程序计算比较大的项时, 发生了 堆栈溢出 异常。

递归计算斐波那契数列时, 函数调用的次数是 指数级 增加的

在解决问题之前我们先看一下递归求斐波那契数列的函数调用情况 :

可以看到, 在计算结果时, 出现了很多重复计算
这也是为什么计算比较大的项时， 用时非常长

将值缓存起来

那么应该如何改写上面写的函数呢 ？
我们可以通过把已经计算过的值存储在一个容器中， 等下次需要计算时， 直接从中取值。
这样可以大幅度的减少函数递归调用的次数

当然还有一个问题 ：
计算比较大的项时， 值可能非常大， 超出了所有C#内置的基本整数类型的最大存储范围。
所以我们需要使用 System.Numerics 命名空间下的大整数类型 : BigInteger, 这个类型可以存储任意大的整数。当然也可以自己手写一个大整数类型。至于怎么写一个大整数类型，不在本文的讨论范围。

.NET framework 程序需要添加程序集引用: System.Numerics.dll

现在开始修改刚刚写的递归函数

这样的话, 就避免了大量的重复计算。

先试试计算斐波那契数列的第 50 项 :

仅仅用了 10 毫秒 !

再试试第 5000 项呢 ?

仅仅用了 19 毫秒 ! 第 5000 项的值已经非常非常大了

虽然使用缓存避免了大量的重复计算，使得计算时间大幅降低
但是需要计算的项非常大时， 调用栈还是会发生溢出 ！

渐进式计算 :

前面我们通过把中间结果缓存到集合中，以避免重复计算，也就是说 ：
如果前 5000 项已经计算过，那么再计算第 5001 项时，只需一次计算 (第 5000 项和第 4999 项相加)

现在假设计算第 6000 项时会发生 栈溢出，那么我们可以 :

0. 先计算第 5000 项 ( 不会 栈溢出)
1. 再计算第 6000 项 ( 也不会 发生栈溢出 !)

因为前 5000 项已经被缓存到集合中，所以再计算第 6000 项时，只需计算第 5001 ~ 6000 项。

那么我们需要计算第 100000 (十万) 项呢 ?

0. 计算第 5000 项
1. 计算第 10000 项
2. 计算第 15000 项
3. 计算第 20000 项
   … …

以此类推
最后计算第 100000 项

现在我们修改上面的代码，使得能计算 任意大 的项 (只要运行内存够大)：

.NET Framework 4.0 及以下版本，单个对象不能大于 2GB

使用上图中的代码计算斐波那契数列的第 100000 (十万)项 :

这是一个 20900 位的整数，用时 0.9 秒

如果想达到这样的效果, 又不想在外面定义一个类成员怎么办?

• 可以把缓存结果值的容器直接放在函数中，

  但是每次调用函数时， 都会创建一个集合对象， 开销会比较大。

• 使用 闭包 。

使用闭包延长局部变量的生命周期 :

当 Fibonacci 函数执行结束时, cache 这个局部变量仍可以从函数外部访问，不会被 GC 释放

如何使用 ?

这三次函数调用不会创建集合对象

如果只需要调用一次则可以直接调用返回的函数 :

以上代码没有经过仔细优化，目的是给读者提供一点思路

源代码 : 点击这里获取源代码

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