本文主要是介绍原子的位形：卢瑟福模型，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
原子的位形：卢瑟福模型
汤姆孙模型掠射时作用力为： F = 2 e ( Z e ) 4 π ε 0 R 2 F=\frac{2 e(Z e)}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{2}} F=4πε0R22e(Ze)，其中 ε 0 \varepsilon_{0} ε0 为真空介电常量， Z Z Z为原子的正电荷数。为了估计 α \alpha α 粒子由散射而引起的动量的变化，只要把作用力乘以粒子在原子附近度过的时间 ( ∼ 2 R / v ) (\sim 2 R / v) (∼2R/v), 故
Δ p p = 2 F R / v m α v = 2 Z e 2 / ( 4 π ε 0 R ) 1 2 m α v 2 ≈ 2 Z × 1.44 f m ⋅ M e v / 0.1 n m E α ( M e V ) ≈ 3 × 1 0 − 5 Z E α rad \begin{aligned} \frac{\Delta p}{p}=\frac{2 F R / v}{m_{\alpha} v} &= \frac{2 Z e^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} R\right)}{\frac{1}{2} m_{\alpha} v^{2}}\\ &\approx \frac{2 Z \times 1.44 \mathrm{fm}\cdot \mathrm{Mev} / 0.1 \mathrm{~nm}}{E_{\alpha}(\mathrm{MeV})} \\ &\approx 3 \times 10^{-5} \frac{Z}{E_{\alpha}} \operatorname{rad} \end{aligned} pΔp=mαv2FR/v=21mαv22Ze2/(4πε0R)≈Eα(MeV)2Z×1.44fm⋅Mev/0.1 nm≈3×10−5EαZrad
电子电荷常数的一种有用表示法 e 2 4 π ε 0 = 1.44 f m ⋅ M e v \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}=1.44 \mathrm{fm}\cdot \mathrm{Mev} 4πε0e2=1.44fm⋅Mev， f m \mathrm{fm} fm 代表费米, 是长度单位, 1 f m = 1 0 − 6 n m = 1 0 − 15 m 1 \mathrm{fm}=10^{-6} \mathrm{~nm}=10^{-15} \mathrm{~m} 1fm=10−6 nm=10−15 m； E α E_{\alpha} Eα 代表 α \alpha α 粒子动能，以 M e V \mathrm{MeV} MeV 为单位。
偏离角 θ = Δ p p \theta = \frac{\Delta p}{p} θ=pΔp
速度为 v v v的 α \alpha α 粒子与静止电子碰撞：由能量、动量守恒，且 α \alpha α 粒子质量远大于电子质量，近似碰撞后速度不变仍为 v v v，电子速度变为 2 v 2v 2v，动量变化为 2 m c v 2m_cv 2mcv，因此， α \alpha α粒子的动量变化为 θ ≈ Δ p p ≈ 2 m c v m α v ≈ 2 m c m α \theta \approx \frac{\Delta p}{p} \approx \frac{2 m_{c} v}{m_{\alpha} v} \approx \frac{2m_c}{m_\alpha} θ≈pΔp≈mαv2mcv≈mα2mc。 保守估计得偏离角 θ < 1 0 − 4 Z E α \theta<10^{-4}\frac{Z}{E_{\alpha}} θ<10−4EαZ
下图描述了远离靶核时，入射能量为 E E E 、电荷为 Z 1 e Z_{1} e Z1e 的带电粒子, 与电荷为 Z 2 e Z_{2} e Z2e 的靶核发生散射的情况。库仑散射公式：
b = a 2 cot θ 2 b=\frac{a}{2}\cot\frac{\theta}{2} b=2acot2θ，其中 a = e 2 4 π ε 0 Z 1 Z 2 E a=\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Z_1Z_2}{E} a=4πε0e2EZ1Z2 称为库仑散射因子。 b b b是瞄准距离，又称碰撞参数，即入射粒子与固体散射体无相互作用情况下的最小直线距离， θ \theta θ为散射角。 e 2 4 π ϵ 0 = 1.44 f m ⋅ M e v \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}=1.44 \mathrm{fm}\cdot \mathrm{Mev} 4πϵ0e2=1.44fm⋅Mev。
库仑力是中心力，满足角动量守恒 m r 2 d φ d t = L mr^2\frac{d\varphi}{dt}=L mr2dtdφ=L，入射能量 E E E应当理解为质心系能量， E c = 1 2 m μ v 2 E_c=\frac{1}{2}m_\mu v^2 Ec=21mμv2， m μ m_\mu mμ为折合适量 m μ = m m ′ m + m ′ m_\mu=\frac{mm'}{m+m'} mμ=m+m′mm′， E c = m ′ m + m ′ E E_c=\frac{m'}{m+m'}E Ec=m+m′m′E。
设一薄箔的面积为 A A A，厚度为 t t t，则体积元 A t At At内共有 n A t nAt nAt个原子核，立体角 d Ω = 2 π sin θ d θ d\Omega=2\pi \sin{\theta}d\theta dΩ=2πsinθdθ。
n n n为原子核的数密度， n = N A V m = N A ρ M n=\frac{N_A}{V_m}=\frac{N_A\rho}{M} n=VmNA=MNAρ。
对于单个原子核，瞄准距离在 b b b到 b + d b b+db b+db的 α \alpha α粒子(即散射到 θ \theta θ到 θ − d θ \theta -d\theta θ−dθ 即 d Ω d\Omega dΩ方向)的概率： 2 π b ∣ d b ∣ A = a 2 d Ω 16 A sin 4 θ 2 \frac{2 \pi b|\mathrm{~d} b|}{A}=\frac{a^{2} \mathrm{~d} \Omega}{16 A \sin ^{4} \frac{\theta}{2}} A2πb∣ db∣=16Asin42θa2 dΩ，对于整个金属箔则概率为： d p ( θ ) = a 2 d Ω 16 A sin 4 θ 2 n A t = a 2 d Ω 16 sin 4 θ 2 n t \mathrm{d}p(\theta)= \frac{a^{2} \mathrm{~d} \Omega}{16 A \sin ^{4} \frac{\theta}{2}} n A t=\frac{a^{2} \mathrm{~d} \Omega}{16 \sin ^{4} \frac{\theta}{2}}nt dp(θ)=16Asin42θa2 dΩnAt=16sin42θa2 dΩnt，若有 N N N个粒子打在薄膜上，则在 d Ω d\Omega dΩ方向的粒子数： d N ′ = N p ( θ ) = n t N ( e 2 4 π ε 0 Z 1 Z 2 E ) 2 d Ω 16 sin 4 θ 2 \mathrm{d} N^{\prime}=N p(\theta)=n t N\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z_{1} Z_{2} }{E}\right)^{2} \frac{\mathrm{d} \Omega}{16\sin ^{4} \frac{\theta}{2}} dN′=Np(θ)=ntN(4πε0e2EZ1Z2)216sin42θdΩ
定义微分截面： σ C ( θ ) ≡ d σ ( θ ) d Ω ≡ d N ′ N n t d Ω \sigma_{\mathrm{C}}(\theta) \equiv \frac{\mathrm{d} \sigma(\theta)}{\mathrm{d} \Omega} \equiv \frac{\mathrm{d} N^{\prime}}{N n t \mathrm{~d} \Omega} σC(θ)≡dΩdσ(θ)≡Nnt dΩdN′， σ C ( θ ) \sigma_{\mathrm{C}}(\theta) σC(θ) 具有面积的量纲 m 2 / s r \mathrm{m}^{2} / \mathrm{sr} m2/sr (米2/球面度)它代表对于单位面积内每个靶核，单位入射粒子、单位立体角内的粒子数。由此我们可以得到卢瑟福公式：
σ C ( θ ) = a 2 16 sin 4 θ 2 = ( e 2 4 π ε 0 Z 1 Z 2 E ) 2 1 16 sin 4 θ 2 \sigma_{C}(\theta)=\frac{a^2}{16\sin ^{4} \frac{\theta}{2}}=\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z_{1} Z_{2} }{ E}\right)^{2} \frac{1}{16\sin ^{4} \frac{\theta}{2}} σC(θ)=16sin42θa2=(4πε0e2EZ1Z2)216sin42θ1
通常以靶恩 (简称靶，符号 b) 作为截面单位， 1 b = 1 0 − 28 m 2 1 \mathrm{~b}=10^{-28} \mathrm{~m}^{2} 1 b=10−28 m2，[相应散射截面 σ C ( θ ) \sigma_{\mathrm{C}}(\theta) σC(θ)的单位是 b / s r b/sr b/sr]
散射角度大于 θ 0 \theta_0 θ0的粒子占比为： N ′ N = ∫ n t σ c d Ω = ∫ θ 0 π n t a 2 2 π sin θ 16 sin 4 θ 2 d θ = N A ρ t π a 2 4 M ∫ θ 0 π 2 d ( s i n θ 2 ) sin 3 θ 2 = N A ρ t π a 2 4 M ( 1 sin 2 θ 0 2 − 1 sin 2 π 2 ) = N A ρ M t π ( a 2 cot θ 2 ) 2 \frac{N'}{N}=\int nt\sigma_c d\Omega = \int_{\theta_0}^\pi nt a^2\frac{2\pi \sin{\theta}}{16\sin ^{4} \frac{\theta}{2}}d\theta=\frac{N_A \rho t \pi a^2}{4M}\int_{\theta_0}^{\pi} \frac{2d(sin\frac{\theta}{2})}{\sin^3\frac{\theta}{2}}=\frac{N_A \rho t \pi a^2}{4M} (\frac{1}{\sin^2{\frac{\theta_0}{2}}}-\frac{1}{\sin^2{\frac{\pi}{2}}})=\frac{N_A\rho}{M}t\pi (\frac{a}{2}\cot{\frac{\theta}{2}})^2 NN′=∫ntσcdΩ=∫θ0πnta216sin42θ2πsinθdθ=4MNAρtπa2∫θ0πsin32θ2d(sin2θ)=4MNAρtπa2(sin22θ01−sin22π1)=MNAρtπ(2acot2θ)2
也可根据瞄准距离与散射角的关系去推导，散射角度大于 θ 0 \theta_0 θ0的粒子占比： N ′ N = n t π b 2 ( θ ) = N A ρ M t π ( a 2 cot θ 2 ) 2 \frac{N'}{N}=nt\pi b^2(\theta)=\frac{N_A\rho}{M}t\pi (\frac{a}{2}\cot{\frac{\theta}{2}})^2 NN′=ntπb2(θ)=MNAρtπ(2acot2θ)2
原子核大小的估算
粒子和原子核对头碰撞时的最小距离为： r m = 1 4 π ε 0 Z 1 Z 2 e 2 E c r_{\mathrm{m}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z_{1} Z_{2} e^{2}}{E_{\mathrm{c}}} rm=4πε01EcZ1Z2e2，当原子核与粒子质量相差不大时，质心系能量为 E c = 1 2 m μ v 2 = m ′ m + m ′ E k E_c=\frac{1}{2}m_{\mu}v^2=\frac{m'}{m+m'}E_k Ec=21mμv2=m+m′m′Ek，则粒子与金属核对头碰撞的最小距离
r m = e 2 4 π ε 0 Z 1 Z 2 E c = e 2 4 π ε 0 Z 1 Z 2 E k ( 1 + m m ′ ) r_{\mathrm{m}}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z_{1} Z_{2} }{E_{\mathrm{c}}}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z_{1} Z_{2} }{E_{\mathrm{k}}}(1+\frac{m}{m'}) rm=4πε0e2EcZ1Z2=4πε0e2EkZ1Z2(1+m′m)
入射粒子所需要的能量为
E k = e 2 4 π ε 0 Z 1 Z 2 r m ( 1 + m m ′ ) E_{k}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z_{1} Z_{2} }{r_{\mathrm{m}}}(1+\frac{m}{m'}) Ek=4πε0e2rmZ1Z2(1+m′m)
下个章节：原子的量子态：玻尔模型
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