【Codeforces Round 326 (Div 2)D】【DP】Duff in Beach 数列重复取数最多k次使得单调不下降

本文主要是介绍【Codeforces Round 326 (Div 2)D】【DP】Duff in Beach 数列重复取数最多k次使得单调不下降，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

While Duff was resting in the beach, she accidentally found a strange array b₀, b₁, ..., b_l - 1 consisting of l positive integers. This array was strange because it was extremely long, but there was another (maybe shorter) array, a₀, ..., a_n - 1 that b can be build from a with formula: b_i = a_i mod n where a mod b denoted the remainder of dividing a by b.

$\text{[math]}$

Duff is so curious, she wants to know the number of subsequences of b like b_i₁, b_i₂, ..., b_{i_x} (0 ≤ i₁ < i₂ < ... < i_x < l), such that:

1 ≤ x ≤ k
For each 1 ≤ j ≤ x - 1, $\text{[math]}$
For each 1 ≤ j ≤ x - 1, b_{i_j} ≤ b_{i_j + 1}. i.e this subsequence is non-decreasing.

Since this number can be very large, she want to know it modulo 10⁹ + 7.

Duff is not a programmer, and Malek is unavailable at the moment. So she asked for your help. Please tell her this number.

Input

The first line of input contains three integers, n, l and k (1 ≤ n, k, n × k ≤ 10⁶ and 1 ≤ l ≤ 10¹⁸).

The second line contains n space separated integers, a₀, a₁, ..., a_n - 1 (1 ≤ a_i ≤ 10⁹ for each 0 ≤ i ≤ n - 1).

Output

Print the answer modulo 1 000 000 007 in one line.

Sample test(s) 
input 
3 5 3
5 9 1
output 
10
input 
5 10 3
1 2 3 4 5
output 
25

Note

In the first sample case, $\text{[math]}$ . So all such sequences are: $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ .

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<ctype.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<string>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<time.h>
using namespace std;
void fre(){freopen("c://test//input.in","r",stdin);freopen("c://test//output.out","w",stdout);}
#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define MC(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
#define MP(x,y) make_pair(x,y)
#define ls o<<1
#define rs o<<1|1
typedef long long LL;
typedef unsigned long long UL;
typedef unsigned int UI;
template <class T1,class T2>inline void gmax(T1 &a,T2 b){if(b>a)a=b;}
template <class T1,class T2>inline void gmin(T1 &a,T2 b){if(b<a)a=b;}
const int N=1e6+10,M=0,Z=1e9+7,ms63=1061109567;
int casenum,casei;
map<int,int>mop;
map<int,int>::iterator it;
int n,k;LL l;
int a[N];
int s[2][N];
int sum[N];
void add(int &x,int y)
{x+=y;if(x>=Z)x-=Z;
}
int main()
{while(~scanf("%d%lld%d",&n,&l,&k)){//第一步：离散化mop.clear();for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&a[i]);mop[a[i]]=0;}int top=0;for(it=mop.begin();it!=mop.end();++it)it->second=top++;for(int i=0;i<n;i++)a[i]=mop[a[i]];//第二步：求出取数个数为1时的答案int ans=l%Z;//第三部：枚举取数个数(>=2)，并做状态转移。MS(s,0);for(int i=0;i<n;i++)++s[0][a[i]];for(int i=0;i<top;i++)s[0][i]+=s[0][i-1];MC(sum,s[0]);LL len=l/n;//len表示a[]总共产生的完整循环次数int rst=l%n;//rst表示构不成完整循环次数的余数int tak=min((LL)k,len);//求出我们所能在完整循环次数中得到的最大取数次数int u=0;int v=1;for(int tim=2;tim<=tak;tim++){for(int j=0;j<top;j++)s[v][j]=0;for(int j=0;j<n;j++)add(s[v][a[j]],s[u][a[j]]);for(int j=1;j<top;j++)add(s[v][j],s[v][j-1]);if(tim<k)for(int j=0;j<top;j++)add(sum[j],s[v][j]);LL num=(len+1-tim)%Z;add(ans,num*s[v][top-1]%Z);u^=1;v^=1;}//什么时候会有尾数也作为至少2次取数的累加呢？//条件1：有尾数；条件2：k>=2，想要取至少2次；条件3：len>=1，能够取至少2次。if(rst&&len>=1&&k>=2)for(int j=0;j<rst;j++)add(ans,sum[a[j]]);printf("%d\n",ans);}return 0;
}
/*
【trick&&吐槽】
加油！难题可以慢慢来分析！1，一个特判没写，导致没能AK，好伤心！
2，不要忘了只要加法会爆，都要取模
3，乘法之前也要取模防止一乘就爆【题意】
给你一个长度为l（[1,1e18]）的数列b[]，
这个数列是由长度为n的数列a[]，在基于循环节的条件下形成的，即对于任意p∈[0,l)，都有b[p]=a[p%n]。
我们想求出b[]的子序列（子序列指下标递增即可，不必须是连续的），长度在[1,k]范围。
有1<=n,k,n*k<=1e6
使得该子序列满足——
1，子序列的长度在[1,k]范围
2，b[p]=a[p%n]，也就是说b[]是由a[]循环了一定次数构成的，最后一次可能不完全循环。
那么，我们所选定的b[]，要满足：其相邻的下标属于相邻的循环次数。
更确切地说，比如说这个自序列的第i位是b[j]，第i+1位是b[k]，那么要有[j/n]+1=[k/n]
3，所选定的b[]是单调不下降的【类型】
DP【分析】
首先，我们考虑这个数列要如何构造。
每个相邻的取数，都取自a[]的循环。
于是我们发现，如果l是n的倍数，那其实题意可以转换为——
我们可以做[1,k]次取数，每次取数都在a[]中任意取一个数，
对于取数后构成的数列c[]，要有c[i]<=c[i+1]对于整个数列都成立。于是我们想到对整个数列做离散化。
f[i][j]表示对于这个数列，我们现在已经取了i个数，最后一个数是第j大的条件下，取数方案是多少
s[i][j]表示对于这个数列，我们现在已经取了i个数，最后一个数是前j大的条件下，取数方案是多少
那么——
f[i][j]+=s[i-1][j];
s[i][j]=∑s[i][1~j]
我们求出这个数列的最大完成循环节数len，
如果这取数都是在len中实现的话，答案累计进去(len+1-i)*s[i][top]，
如果这取数，只有i个在len中实现，最后一个数是取自不完整循环中的话，我们把它累计进一个前缀数组即可。
然后再枚举不完整循环中的每个数作为最后一次取数的值，把前导引为这个前缀数组，更新答案即可。【时间复杂度&&优化】
这个DP，我们最多取k次数，每次取数考虑n个，于是总的时间复杂度为O(nk)。【数据】
input
8 1001000
100 99 98 97 96 ... 3 2 1
output
8
*/

这篇关于【Codeforces Round 326 (Div 2)D】【DP】Duff in Beach 数列重复取数最多k次使得单调不下降的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！