Bayes理论相关应用之——Bayes定理

2024-01-10 20:08

本文主要是介绍Bayes理论相关应用之——Bayes定理,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

问题导入:一个故事引出的一个小问题。


场景描述:面前有两只木桶,编号为C1,C2(之所以用C,是因为木桶的英文为Cask).两只木桶中有数目不等的黑色球和白色球,数目分别是:C1中有70个黑球,30个白球;C2中有50个黑球,50个白球。黑球用B(即Black)表示,白球用W(即White)表示。

问题描述:随机地从两只木桶中取出一个球,发现该球是白色球,问:该白色球来自C1的概率有多大?


要解决该文题,先熟悉几个概念,这几个概念会在解决上述问题时用到。

1.先验概率(Priori Probability),即不需要进行实验就可得到的概率,如上述问题中,从“随机地从两只木桶中取出一个球”这句话可知,C1和C2被选中的概率均为0.5,即P(C1)=P(C2)=0.5;从C1中随机拿出一个球,该球为黑色球的概率为0.7,即P(B)=70/(70+30)=0.7.(注明:此时,已经规定必须从C1中取球,故此时P(C1)=1,其实,此时准确的数学描述应该将P(B)写成P(B|C1)形式)

2.全概率,如上述问题中,如果问“随机地选择一个木桶,且取出的球是黑球的概率是多少?”,该问题的解便是:P(B)=P(B|C1)+P(B|C2),该解的描述是:取出的黑球包括两种情况,或者从C1中取出,即P(B|C1),或者从C2中取出,即P(B|C2),这两种情况统统属于问题描述,故将P(B|C1)与P(B|C2)相加。

3.后验概率,后验概率是指在得到"结果"的信息后重新修正的概率,如我们对求解问题“该白色球来自C1的概率有多大?”做数学形式的描述为:求解P(C1|W),该求解思路是在基于已获得先验概率的基础上进行的,如何求解P(C1|W)是要说明的重点内容。


分析:我们已知先验概率,如P(C1)、P(C2),P(B|C1)、P(B|C2),我们要求P(C1|W),如何通过先验概率求解后验概率呢?


引入一个重要定理:Bayes定理。

贝叶斯定理的形式:P(AB)=P(A|B)*P(B)=P(B|A)*P(A)

Bayes定理的图形证明:



P(AB)=P(A|B)*P(B)变形为P(A|B)=P(AB)/P(B),在文氏图中的意义就是B发生的前提下,A发生的概率P(A|B)就等于B中AB占比。

P(AB)=P(B|A)*P(A)变形为P(A|B)=P(A∩B)/P(A),在文氏图中的意义就是A发生的前提下,B发生的概率P(B|A)就等于A中A∩B占比。

通过P(AB)建立P(A|B)*P(B)与P(B|A)*P(A) 的联立关系,即P(AB)=P(A|B)*P(B)=P(B|A)*P(A)

P(A|B)*P(B)=P(B|A)*P(A)可知,可以通过先验概率计算得到后验概率,如P(A|B)=(P(B|A)*P(A))/P(B),该思想即为Bayes定理的核心思想。


回到问题:如何求解P(C1|W)。

建立P(C1|W)与其他概率(先验或者后验概率)的等式关系。

P(C1|W)*P(W)=P(W|C1)*P(C1)

P(C1|W)=(P(W|C1)*P(C1))/P(W)

通过分析可知P(W|C1)=30/(30+70)=0.3,P(C1)=0.5,P(W)=P(W|C1)+P(W|C2)=0.3+0.5=0.8.

P(C1|W)=(P(W|C1)*P(C1))/P(W)=0.3*0.5/0.8=0.1875.




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