Khan公开课 统计学学习笔记 五 正态分布

正态分布：二项分布极好的近似

X是随机变量，E（X）是期望值。正态分布（normal distribution）也称为高斯分布（Gaussian distribution），或者钟形曲线（bell curve）。

（x-μ）/σ也称为z score（注意：z score是个通用的概念，包括非正态分布）。因此正态分布公式也可以写为，一眼望去，一堆2：

二项式分布可以很好地用正太分布近似，特别是n越大，越趋于接近。我们用Excel来对两者进行对比，下图是fair coin，即p=0.5的抛投情况，给出n=4和n=10的情况，可以看出n越高，曲线就越趋同。

在一般教科书给出的正态分布中，μ=0，上面的图向左移，呈Y轴对称。标准正态分布（Standard normal distribution），即μ=0，σ=1的正态分布。

正态分布：概率

正态曲线是个连续的曲线，如果某个概率符合正态分布曲线，实际上某个区间的概率为，但很多时候直接（x2-x1）f(X)，如果离散值，就是P（X），当然对于雨量这种连续分布只能说是近似，在X2-X1很小的可以。

在EXCEL中，有公式=NORMDIST(x,μ,σ,cumulative)，如果cumulative选择FALSE，就是正态函数取值，如果选择TRUE，就是累积分布函数（Cumulative Distribution Function），CDF(x)=，相当于EXCEL的另一函数NORMSDIST（z）。利用EXCEL，无论正太分布的X2和X1取多少，都很容易计算在这个区间内的范围值。

累计分布函数，也可以通过根据z score查z table获得。见：http://en.wikipedia.org/wiki/Z_table

正态分布：z score和经验法则

其中以对称的μ为中心，±σ范围的概率是68.3%。也就是说z=（x-μ）/σ在范围(-1,1)内，概率为68.3%。

也就是说z在范围(-1,1)内，概率为68.3%。

所谓的经验法则（Empirical Rule），也成为68-95-99.7法则，即以μ为中心，落在μ±σ的概率为68%，落在μ±2σ的概率为95%，落在μ±3σ的概率为99.7%。

偏态和峰度

正态分布是对称的，而偏态则不是。下面分别是negative skew和positive skew。

正态分布的Kurtosis（峰度）为0，有些分布突出呈尖形，有些较扁呈圆盾形状，用Kurtosic（峰度）表示，如下，其中黑线为正态分布。

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