本文主要是介绍最近公共祖先LCA（Tarjan(离线)算法）amp;amp; poj1330 amp;amp; hdu2586，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
注：这篇文章关于算法解释部分参考☞：http://www.cnblogs.com/JVxie/p/4854719.html
这位大佬写的特别详细，然后我在这个的基础上又增加了两道例题，更方便大家理解
首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先？)：
在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。
换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。
所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。
有人可能会问：那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢？
答案是肯定的，很简单，按照人的亲戚观念来说，你的父亲也是你的祖先，而LCA还可以将自己视为祖先节点。
举个例子吧，如下图所示４和５的最近公共祖先是２，５和３的最近公共祖先是１，２和１的最近公共祖先是１。 
这就是最近公共祖先的基本概念了，那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢？
通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法：对于每个询问，遍历所有的点，时间复杂度为O(n*q)，很明显，n和q一般不会很小。
常用的求LCA的算法有：Tarjan/DFS+ST/倍增
后两个算法都是在线算法，也很相似，时间复杂度在O(logn)~O(nlogn)之间，我个人认为较难理解。
有的题目是可以用线段树来做的，但是其代码量很大，时间复杂度也偏高，在O(n)~O(nlogn)之间，优点在于也是简单粗暴。
这篇博客主要是要介绍一下Tarjan算法(其实是我不会在线...)。
什么是Tarjan(离线)算法呢？顾名思义，就是在一次遍历中把所有询问一次性解决，所以其时间复杂度是O(n+q)。
Tarjan算法的优点在于相对稳定，时间复杂度也比较居中，也很容易理解。
下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路：
1.任选一个点为根节点，从根节点开始。
2.遍历该点u所有子节点v，并标记这些子节点v已被访问过。
3.若是v还有子节点，返回2，否则下一步。
4.合并v到u上。
5.寻找与当前点u有询问关系的点v。
6.若是v已经被访问过了，则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。
遍历的话需要用到dfs来遍历(我相信来看的人都懂吧...)，至于合并，最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。
下面上伪代码：
1 Tarjan(u)//marge和find为并查集合并函数和查找函数2 {3 for each(u,v) //访问所有u子节点v4 {5 Tarjan(v); //继续往下遍历6 marge(u,v); //合并v到u上7 标记v被访问过;8 }9 for each(u,e) //访问所有和u有询问关系的e10 {11 如果e被访问过;12 u,e的最近公共祖先为find(e);13 }14 }
个人感觉这样还是有很多人不太理解，所以我打算模拟一遍给大家看。
建议拿着纸和笔跟着我的描述一起模拟！！
假设我们有一组数据 9个节点 8条边 联通情况如下：
1--2，1--3，2--4，2--5，3--6，5--7，5--8，7--9 即下图所示的树
设我们要查找最近公共祖先的点为9--8，4--6，7--5，5--3；
设f[]数组为并查集的父亲节点数组，初始化f[i]=i，vis[]数组为是否访问过的数组，初始为0; 
下面开始模拟过程：
取1为根节点，往下搜索发现有两个儿子2和3；
先搜2，发现2有两个儿子4和5，先搜索4，发现4没有子节点，则寻找与其有关系的点；
发现6与4有关系，但是vis[6]=0，即6还没被搜过，所以不操作；
发现没有和4有询问关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[4]=1；
表示4已经被搜完，更新f[4]=2，继续搜5，发现5有两个儿子7和8;
先搜7，发现7有一个子节点9，搜索9，发现没有子节点，寻找与其有关系的点；
发现8和9有关系，但是vis[8]=0,即8没被搜到过，所以不操作；
发现没有和9有询问关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[9]=1；
表示9已经被搜完，更新f[9]=7，发现7没有没被搜过的子节点了，寻找与其有关系的点；
发现5和7有关系，但是vis[5]=0，所以不操作；
发现没有和7有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[7]=1；
表示7已经被搜完，更新f[7]=5，继续搜8，发现8没有子节点，则寻找与其有关系的点；
发现9与8有关系，此时vis[9]=1，则他们的最近公共祖先为find(9)=5；
(find(9)的顺序为f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)
发现没有与8有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[8]=1；
表示8已经被搜完，更新f[8]=5，发现5没有没搜过的子节点了，寻找与其有关系的点；
发现7和5有关系，此时vis[7]=1，所以他们的最近公共祖先为find(7)=5；
(find(7)的顺序为f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)
又发现5和3有关系，但是vis[3]=0，所以不操作，此时5的子节点全部搜完了；
返回此前一次搜索，更新vis[5]=1，表示5已经被搜完，更新f[5]=2；
发现2没有未被搜完的子节点，寻找与其有关系的点；
又发现没有和2有关系的点，则此前一次搜索，更新vis[2]=1；
表示2已经被搜完，更新f[2]=1，继续搜3，发现3有一个子节点6；
搜索6，发现6没有子节点，则寻找与6有关系的点，发现4和6有关系；
此时vis[4]=1，所以它们的最近公共祖先为find(4)=1;
(find(4)的顺序为f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)
发现没有与6有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[6]=1，表示6已经被搜完了；
更新f[6]=3，发现3没有没被搜过的子节点了，则寻找与3有关系的点；
发现5和3有关系，此时vis[5]=1，则它们的最近公共祖先为find(5)=1；
(find(5)的顺序为f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)
发现没有和3有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[3]=1；
更新f[3]=1，发现1没有被搜过的子节点也没有有关系的点，此时可以退出整个dfs了。
经过这次dfs我们得出了所有的答案，有没有觉得很神奇呢？是否对Tarjan算法有更深层次的理解了呢？
好了我们下面来增加两道例题
1.poj1330:传送门：http://poj.org/problem?id=1330
这道题的题意就是直接问你两个点的最近公共祖先，直接上代码吧：
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;const int maxn = 10010;
vector<int> son[maxn];int fa[maxn];
int fas[maxn];
int root; //保存树的根节点
bool vis[maxn];
int n;
int u,v;int find(int x){return fa[x]==x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}void init(){memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=1;i<=n;i++) fa[i] = i;for(int i=0;i<=n;i++) son[i].clear();
} void tarjan_lca(int root){vis[root] = 1;for(int i=0;i<son[root].size();i++){int y = son[root][i];if(!vis[y]){if(y==u && vis[v]){cout <<find(v)<<'\n';return;}if(y==v && vis[u]){cout <<find(u)<<'\n';return;}tarjan_lca(y);fa[y] = root;}}
}int main()
{int T;cin >> T;while(T--){cin >>n;init();for(int i=0;i<n-1;i++){int a,b;cin >> a >> b;son[a].push_back(b);vis[b] = 1;} cin >> u >> v;for(int i =1;i<=n;i++){if(!vis[i]){root = i;break;}}memset(vis,0,sizeof(vis));tarjan_lca(root);}return 0;
}2.hdu2586:传送门：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2586
题意：给一个无根树，有q个询问，每个询问两个点，问两点的距离。求出 lca = LCA(X,Y) , 然后 dir[x] + dir[y] - 2 * dir[lca]
dir[u]表示点u到树根的距离，代码如下：
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;const int MAX = 40020;struct edge{int v,w;
};
vector<edge> mp[MAX];
vector<edge> query[MAX];
int vis[MAX];
int pre[MAX],father[MAX],path[MAX];int find(int x){return x==pre[x] ? x : pre[x] = find(pre[x]);
}void LCA(int k){for(int i=0;i<mp[k].size();i++){int a = mp[k][i].v;if(!vis[a]){vis[a] = 1;path[a] = path[k] + mp[k][i].w;LCA(a);pre[a] = k;for(int j=0;j<query[a].size();j++){int b=query[a][j].v;if(vis[b]&&father[query[a][j].w]==-1){if(a==b) father[query[a][j].w]=0;else father[query[a][j].w]=path[a]+path[b]-2*path[find(b)];}}}}
}int main()
{int T;cin >> T;while(T--){int n,m;cin >> n >> m;for(int i=1;i<=n;i++){mp[i].clear();query[i].clear();vis[i]=0;father[i]=-1;pre[i]=i;path[i]=0;}int a,b,c;edge X;for(int i=1;i<n;i++){cin >> a >> b >> c;X.v=b;X.w=c;mp[a].push_back(X);X.v=a;mp[b].push_back(X);}for(int i=1;i<=m;i++){cin >>a >> b;X.v=b;X.w=i;query[a].push_back(X);X.v=a;query[b].push_back(X); }vis[1] = 1;LCA(1);for(int i=1;i<=m;i++){cout << father[i]<<'\n';}}return 0;
}
这篇关于最近公共祖先LCA（Tarjan(离线)算法）amp;amp; poj1330 amp;amp; hdu2586的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
