（3）整除性与最大公因数

本文主要是介绍（3）整除性与最大公因数，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

整除性

在勾股数组的研究中我们已经看到，整除性与因式分解的概念是数论的重要工具，本节我们将更进一步的考察这些想法。

假设n,m是整数，且m≠0。m整除n指n是m的倍数，即存在k使得n=km。如果m整除n，我们记作m|n。类似的如果m $\nmid$n。整除n的都叫n的因数。

最大公因数

两个数a与b（全不为零）的最大公因数就是整除他们两个的最大值，记作$gcd(a,b)$，如果$gcd(a,b)=1$，我们称其为互素。最大公因数在数论的研究中最大公因数会时常出现。

求两个数的最大公因数最有效的方法是欧几里得算法。
我们已知两个数为A，B（A$\ge$B）
每一步用B除以A得到商Q与余数R：

$A=Q\ast B+R$

然后用用B，R分别替换A，B，继续此过程直到余数为零。

下面我们分析欧几里得算法，一般的有

$a=q_1\ast b+r_1$
$b=q_2\ast r_1+r_2$
$r_1=q_3\ast r_2+r_3$
$⋮$
$r_{n-2}=q_n\ast r_{n-1}+r_n$
$r_{n-1}=q_{n+1}\ast r_n+0$

如果令r₀=b，r_-1=a，则每行形如：

$r_{i-1}=q_{i+1}\ast r_i+r_{i+1}$

为什么r_n一定是a，b的公因数呢？我们可以从下往上分析。最后一行$r_{n-1}=q_{n+1}\ast r_n$表示r_n|r_n-1，则前一行

$r_{n-2}=q_n\ast r_{n-1}+r_n$

表明r_n|r_n-2因为r_n|r_n-1。以此类推直到第二行时$b=q_2\ast r_1+r_2$我们知道r_n|b，最后到塔顶，通过r_n|b,r₁得出r_n|a。这就完成了最后一个非零余数是a，b的公因数的证明。

但为什么r_n是最大公因数呢？我们可以假设d是a，b的任意公因数。让我们回到等式表，$a=q_1\ast b+r_1$因为d|a，所以d|r₁。则第二个等式$b=q_2\ast r_1+r_2$可知d|r₂，以此类推d|r_n。因此a，b任意公因数都可以整除r_n，于是r_n只能是最大的公因数。

欧几里得算法要计算两个整数a，b的最大公因数，先令r_-1=a，r₀=b，然后计算相继的商和余数

$r_{i-1}=q_{i+1}\ast r_i+r_{i+1}(i=0,1,2,\cdots )$

直到某个余数为0，最后的非零余数r_n就是a，b的最大公因数。

要想证明算法完全可以使用我们还需证明一点——算法是否永远会结束或者说为什么一定会得到非零的余数。证明也很简单每次计算商和余数时

$A=Q\ast B+R$

余数取值在0与B-1之间，这是显然的，因为如果R$\ge$B，则可以再加1到Q，并从R减去B。所以欧几里得算法中的余数是不断减小的：

$b=r_0>r_1>r_2>\cdots$

但所有余数都大于0，因此得到的是非负整数严格递减序列。最后必然到达0的余数；事实上，显然是至多经过b步就会得到余数0，幸运的是欧几里得算法要远比这有效，可以证明欧几里得的步数至多是b的位数的7倍。所以在计算机上当a，b是百位甚至千位时，也很容易计算。

算法代码

int Eucild(int a,int b)
{int r=a%b;while(r){a=b;b=r;r=a%b;}return b;
}

这篇关于（3）整除性与最大公因数的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---