(3)整除性与最大公因数

2023-12-07 20:39
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本文主要是介绍(3)整除性与最大公因数,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

整除性

在勾股数组的研究中我们已经看到,整除性与因式分解的概念是数论的重要工具,本节我们将更进一步的考察这些想法。

假设n,m是整数,且m≠0。m整除n指n是m的倍数,即存在k使得n=km。如果m整除n,我们记作m|n。类似的如果m ∤ \nmid n。整除n的都叫n的因数

最大公因数

两个数a与b(全不为零)的最大公因数就是整除他们两个的最大值,记作 g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b),如果 g c d ( a , b ) = 1 gcd(a,b)=1 gcd(a,b)=1,我们称其为互素。最大公因数在数论的研究中最大公因数会时常出现。

求两个数的最大公因数最有效的方法是欧几里得算法
我们已知两个数为A,B(A ≥ \ge B)
每一步用B除以A得到商Q与余数R:

A = Q ∗ B + R A=Q*B+R A=QB+R

然后用用B,R分别替换A,B,继续此过程直到余数为零。

下面我们分析欧几里得算法,一般的有

a = q 1 ∗ b + r 1 a=q_1 *b+r_1 a=q1b+r1
b = q 2 ∗ r 1 + r 2 b=q_2*r_1+r_2 b=q2r1+r2
r 1 = q 3 ∗ r 2 + r 3 r_1=q_3*r_2+r_3 r1=q3r2+r3
⋮ \vdots
r n − 2 = q n ∗ r n − 1 + r n r_{n-2}=q_{n}*r_{n-1}+r_n rn2=qnrn1+rn
r n − 1 = q n + 1 ∗ r n + 0 r_{n-1}=q_{n+1}*r_{n}+0 rn1=qn+1rn+0

如果令r0=b,r-1=a,则每行形如:

r i − 1 = q i + 1 ∗ r i + r i + 1 r_{i-1}=q_{i+1}*r_{i}+r_{i+1} ri1=qi+1ri+ri+1

为什么rn一定是a,b的公因数呢?我们可以从下往上分析。最后一行 r n − 1 = q n + 1 ∗ r n r_{n-1}=q_{n+1}*r_{n} rn1=qn+1rn表示rn|rn-1,则前一行

r n − 2 = q n ∗ r n − 1 + r n r_{n-2}=q_{n}*r_{n-1}+r_n rn2=qnrn1+rn

表明rn|rn-2因为rn|rn-1。以此类推直到第二行时 b = q 2 ∗ r 1 + r 2 b=q_2*r_1+r_2 b=q2r1+r2我们知道rn|b,最后到塔顶,通过rn|b,r1得出rn|a。这就完成了最后一个非零余数是a,b的公因数的证明。

但为什么rn是最大公因数呢?我们可以假设d是a,b的任意公因数。让我们回到等式表, a = q 1 ∗ b + r 1 a=q_1 *b+r_1 a=q1b+r1因为d|a,所以d|r1。则第二个等式 b = q 2 ∗ r 1 + r 2 b=q_2*r_1+r_2 b=q2r1+r2可知d|r2,以此类推d|rn。因此a,b任意公因数都可以整除rn,于是rn只能是最大的公因数。

欧几里得算法要计算两个整数a,b的最大公因数,先令r-1=a,r0=b,然后计算相继的商和余数

r i − 1 = q i + 1 ∗ r i + r i + 1 ( i = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) r_{i-1}=q_{i+1}*r_i +r_{i+1}\ (i=0,1,2,\cdots) ri1=qi+1ri+ri+1 (i=0,1,2,)

直到某个余数为0,最后的非零余数rn就是a,b的最大公因数。

要想证明算法完全可以使用我们还需证明一点——算法是否永远会结束或者说为什么一定会得到非零的余数。证明也很简单每次计算商和余数时

A = Q ∗ B + R A=Q*B+R A=QB+R

余数取值在0与B-1之间,这是显然的,因为如果R ≥ \ge B,则可以再加1到Q,并从R减去B。所以欧几里得算法中的余数是不断减小的:

b = r 0 > r 1 > r 2 > ⋯ b=r_0 >r_1>r_2>\cdots b=r0>r1>r2>

但所有余数都大于0,因此得到的是非负整数严格递减序列。最后必然到达0的余数;事实上,显然是至多经过b步就会得到余数0,幸运的是欧几里得算法要远比这有效,可以证明欧几里得的步数至多是b的位数的7倍。所以在计算机上当a,b是百位甚至千位时,也很容易计算。

算法代码

int Eucild(int a,int b)
{int r=a%b;while(r){a=b;b=r;r=a%b;}return b;
}

这篇关于(3)整除性与最大公因数的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



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