机器学习第二周--Multiple features Normal equation

本文主要是介绍机器学习第二周--Multiple features Normal equation，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

多变量的线性回归

第一周内容针对单变量，也就是一个feature。这此考虑多变量，即多个features。
仍然与预测房价为例，影响房价的因素不只有面积，我们加入卧室数量、楼层、房龄，这些可看作新加入的feature。由此我们有以下表示：

m是样本数目，n是特征数目，X的上标表示第i个训练样本；X的下标表示第j个特征。

多变量

相应的推导多特征下的各种函数如下：

（为了方便向量化运算，取$x_1$=1）

把损失函数带入化简（化简过程见第一周）：

分解求$\theta\ $具体步骤如下：

注意：这里x下标为0为1，是我们方便向量化在$\theta_0\ $项乘$x_0$并置$x_0$=1（见上）。计算$\theta_1\ $时，只取第一个feature即$x_1$计算。

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特征缩放

特征缩放（feature scaling）：以预测房价为例，一个特征为房屋面积，如2000，而一个是房间内的卧室数量2间，很明显这俩个特征不在一个数量级别上，如果直接以这俩个特征进行运算，则迭代的速度非常慢，“以螺旋方式迭代收敛”，为加快迭代速度，采用特征缩放，来确保所有特征在相似的尺度，最好是每个特征缩放后的范围在[-1,1]，如本例，缩放房屋面积，$\frac{2000}{max \left(size \right)}$，卧室数量，$\frac{2}{max \left(numbers \right)}$。

均值归一化

对特征缩放后，我们再采用归一化操作：
这里采用的是均值归一化（$x_0$不作归一化），均值归一化的结果是数据都转化到[0,1]内；以房屋面积为例，$x_1= \frac { size_1 - mean \left ( size \right )} {max\left(size\right) - min\left(size\right)}$。当分母用标准差代替，我们称为0均值归一化，0均值归一化的结果是均值为0，方差为1的数据集

学习速率

学习速率（$\alpha\ $）：同单特征一样，学习速率的选择尤为重要，以{0.001,0.01,0.1,1……}为标准，每项乘3穿插选择。

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多项式回归

多项式回归：当线性回归拟合数据效果不好时，考虑多项式回归，其中假设函数选取不同，其他函数跟线性回归一样的。
考虑以下数据：

很明显随着size的不断增大，线性回归不能很好的拟合price了，这是考虑多项式，当采用第一个假设函数时，是一个二次函数，随着size的增大，price反而下降，明显不对，由数学知识，$\sqrt x\ $的图像能很好的反应price的变化，所以用第二个函数做假设函数。

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常规方程

常规方程（另一种计算 $\theta\ $的方法）：损失函数一般是常规方程，如二次方程，三次方程等。以二次方程为例，对损失函数求偏导可得到theta。如下：

当然，用常规方程时我们给出一个通过公式求theta，以及具体的例子：


注意：这里的X矩阵包括$x_0$！

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常规方程和梯度下降比较

这里对常规方程和梯度下降作个比较：

总的来说：采用常规方程不用选择$\alpha\ $，不用进行特征缩放，也不用迭代，在特征小于10000维时可以考虑，当特征超过10000维，建议采用梯度下降。

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