三部曲法求未定式极限中的1无穷次方型

本文主要是介绍三部曲法求未定式极限中的1无穷次方型，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

$1^{\infty }$型幂指函数的极限👺

• 这类极限问题属于未定式,若极限存在,则应该为$e$相关的式子,也可能极限不存在(尽管大多数我们遇到的都是极限存在的情形)

分离常数变形

• 有时,需要使用分离常数的技巧将函数的形式转换为$f(x)=(1+\alpha (x){)}^{\beta (x)}$的形式,
  • 例如:$(\frac{x+1}{x-3}{)}^x=(\frac{x-3+3+1}{x-3}{)}^x=(1+\frac{4}{x-3}{)}^x$

分子分母同时除以变化最快项

• 这种方法有时比分离常数更加方便和直接
• 通常用在含$\infty$的情形下
  • $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}$=$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}(\frac{n}{n+1}{)}^n$=$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}{)}^n$=$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}(\frac{1}{(1+\frac{1}{n}{)}^{{}^n}})$=$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n+1}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1}{(1+\frac{1}{n}{)}^{{}^n}})$=$0\cdot \frac{1}{e}$=0

速算结论👺(三部曲)

• 如果判断出$f(x)=(1+\alpha (x){)}^{\beta (x)}$的某个过程的极限属于$1^{\infty }$型的情况下求极限$S=\lim f(x)$,则可以按如下步骤求解

  1. 先计算出$A=\lim (\alpha (x)\beta (x))$

  2. 那么:$S=e^A$,也即是说,结果是$e$的幂的形式

证明

• 设$\alpha (x),\beta (x)$分别极限过程$x\to \ast$的无穷小量和无穷大量,即$\lim \alpha (x)=0$,$\lim \beta (x)=\infty$
• $\gamma (x)=\alpha (x)\beta (x)$;$\beta (x)=\frac{1}{\alpha (x)}\alpha (x)\beta (x)$=$\frac{1}{\alpha (x)}\gamma (x)$
• $S=\lim (1+\alpha (x){)}^{\beta (x)}$=$\lim (1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha (x)}\alpha (x)\beta (x)}$=$\lim (((1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha (x)}}{)}^{\gamma (x)}$=$[\lim (((1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha (x)}}){]}^{\gamma (x)}$=$e^{\gamma (x)}$
• 记$A=\lim \gamma (x)$,则$S=e^A$

应用

例

• 以下3个的$1^{\infty }$型极限都可以用$e^A$模型法来计算,先确定$\alpha (x)和\beta (x)$

  • $S_1=\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^x$

  • $S_2=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{a}{x}{)}^{bx}$

  • $S_3=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{a}{x}{)}^{bx+c}$

• 分别计算$A_1,A_2,A_3$

  • $A_1=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-1}{x}x=-1$

  • $A_2=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a}{x}bx=ab$

  • $A_3=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a}{x}(bx+c)=ab$

• $S_1=e^{-1}$,$S_2=e^{ab}$,$S_3=e^{ab}$

逐步演算

• $\underset{x\to \infty }{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x$=$\underset{x\to \infty }{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^{-(-x)}$=$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{{(1-\frac{1}{x})}^{-x}}$=$\frac{\underset{x\to \infty }{\lim }1}{\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^{-x}}$=$\frac{1}{e}$

• $\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{a}{x}{)}^{bx}$=$\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+\frac{a}{x})}^{\frac{x}{a}ab}$=$\underset{x\to \infty }{\lim }$ ${\left({(1+\frac{a}{x})}^{\frac{x}{a}}\right)}^{ab}$=$e^{ab}$

• $\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+\frac{a}{x})}^{bx+c}$=$\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+\frac{a}{x})}^{bx}$ $\cdot$ $\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+\frac{a}{x})}^c$=$e^{ab}\cdot 1^c$=$e^{ab}\cdot 1$=$e^{ab}$

例

• $f(x)$=$(x+2^x{)}^{\frac{2}{x}}$,$S=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$=?
  • 这是一个$1^{\infty }$的未定式
• 方法1
  • $f(x)$变形:$f(x)$=$(1+x+2^x-1{)}^{\frac{2}{x}}$
  • 根据上述结论,求$A$=$\underset{x\to 0}{\lim }(x+2^x-1)\cdot \frac{2}{x}$=$2(\underset{x\to 0}{\lim }(x+2^x-1)\cdot \frac{1}{x})$=$2(1+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^x-1}{x})$=$2(1+\ln 2)$
    • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^x-1}{x}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\ln 2}{x}$=$\ln 2$
  • 于是$S=e^A$=$(e^{1+\ln 2}{)}^2$=$(e\cdot 2{)}^2$=$4e^2$
• 方法2
  • $f(x)$=$[2^x(\frac{x}{2^x}+1){]}^{\frac{2}{x}}$
  • $S$=$4\cdot \underset{x\to 0}{\lim }(1+\frac{x}{2^x}{)}^{\frac{2}{x}}$
    • $A=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{2^x}\cdot \frac{2}{x}$=$2$
  • $S$=$4e^2$

例

• $$\underset{x\to 0}{\lim }{\left({\int }_0^{\sqrt[3]{x^2}}{e}^{\frac{1}{2}{t}^2}\mathrm{d}t-x^{\frac{2}{3}}+1\right)}^{\frac{1}{x^2}}=1$$

  • 这是一个$1^{\infty }$型未定式,令$\alpha (x)$=${\int }_0^{\sqrt[3]{x^2}}{e}^{\frac{1}{2}{t}^2}\mathrm{d}t-x^{\frac{2}{3}}$,$\beta$=$\frac{1}{x^2}$
  • 则$A=\underset{x\to 0}{\lim }\alpha (x)\beta (x)$=$0$,从而原式等于$e^A$=$e^0$=$1$

例

• $\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{e^x+e^{2x}+\cdots +e^{nx}}{n}{)}^{\frac{1}{x}}$
  • 分析这是一个$1^{\infty }$未定式
  • 令$g(x)$=$\frac{e^x+e^{2x}+\cdots +e^{nx}}{n}$,则$g(x)$=$\frac{e^x+e^{2x}+\cdots +e^{nx}-n}{n}+1$
  • 记$a(x)$=$\frac{e^x+e^{2x}+\cdots +e^{nx}-n}{n}$;$b(x)$=$\frac{1}{x}$,则$A(x)=a(x)b(x)$=$\frac{(e^x-1)+(e^{2x}-1)+\cdots +(e^{nx}-1)}{nx}$
  • $\underset{x\to 0}{\lim }A(x)$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+2x+\cdots +nx}{nx}$=$\frac{1}{2}n(n+1)\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{2}$
  • 所以原式=$e^{\frac{n+1}{2}}$

例

• $\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x^n}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}{)}^x$
  • 分析可知原式是$1^{\infty }$的未定式
  • 令$f(x)$=$\frac{x^n}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}$
  • 利用三部曲结论,$(f(x)-1+1{)}^x$可以做
  • 但是这里可以使用通项思维,将原来的形式分解成形式相近的项,对这些项进行研究,或许能使得计算过程变得简单,稍加变形$f(x)$=$\frac{x}{(1+x)}\frac{x}{(x+2)}\cdots \frac{x}{(x+n)}$,然后$g(x)$=$[f(x){]}^x$=$[\frac{x}{(1+x)}{]}^x[\frac{x}{(x+2)}{]}^x\cdots [\frac{x}{(x+n)}{]}^x$
  • 这就将问题分解为$n$个$[\frac{x}{x+k}{]}^x$的$1^{\infty }$问题,这些处理起来就简单了(分离常数为$(1-\frac{k}{x+k}{)}^x$)去处理,求$x\to \infty$的极限为$e^{-k}$
  • 更进一步,我们可以把$[\frac{x}{x+k}{]}^x$=$[\frac{x+k}{x}{]}^{-x}$=$(1+\frac{k}{x}{)}^{-x}$,那么也可以起到分离常数的效果,求$x\to \infty$的极限为$e^{-k}$
  • 从而原式:$\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)$=$e^{-\frac{n(n+1)}{2}}$

例

• $\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}{e}{)}^{\frac{1}{x}}$

• 分析

  • 分析可知该极限使一个$1^{\infty }$型未定式
  • 令$f(x)$=$\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}{e}$;$g(x)$=$[f(x){]}^{\frac{1}{x}}$
  • 求解本题的重要要求是
    • 分析极限类型(未定式)
    • 掌握幂指函数指数化或者三部曲法
    • 掌握等价无穷小:$\ln (1+x)-x\sim -\frac{1}{2}{x}^2$(1)

• 方法1:

  • 直接使用三部曲法
  • 将$f(x)$变形为$f(x)$=$1+\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}-e}{e}$;$a(x)=\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}-e}{e}$;$b(x)=\frac{1}{x}$
  • 从而$c(x)$=$\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}-e}{e}\cdot \frac{1}{x}$;
    • $(e^{(\frac{1}{x}\ln (1+x)})-e$=$e^{\xi }(\frac{1}{x}\ln (1+x)-1)$;$\xi \in (\frac{1}{x}\ln (1+x),1)$
    • 当$x\to 0$时,$\frac{1}{x}\ln (1+x)\to 1$,从而由夹逼准则$\xi \to 1$,即$e^{\xi }\to e$
    • $\underset{x\to 0}{\lim }c(x)$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\xi }(\frac{1}{x}\ln (1+x)-1)}{ex}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\frac{1}{x}\ln (1+x)-1)}{x}$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\ln (1+x)-x)}{x^2}$
    • 再根据等价无穷小(1),替换:$\underset{x\to 0}{\lim }c(x)$=$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}$=$-\frac{1}{2}$
  • 原式=$e^{-\frac{1}{2}}$

• 方法2:

  • 使用幂指型化为指数型的手法变形(复合函数求导法)
  • $f(x)$=$\frac{e^{\frac{1}{x}\ln (1+x)}}{e}$,从而$g(x)$=$\frac{e^{\frac{1}{x^2}\ln (1+x)}}{e^{\frac{1}{x}}}$=$e^{[\frac{1}{x^2}\ln (1+x)-\frac{1}{x}]}$
    • 而$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}[\ln (1+x)-x]$=$\underset{x\to 0}{\lim }-\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}$=$-\frac{1}{2}$
  • $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)$=$e^{-\frac{1}{2}}$

补充:极限含参形式

• $\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^{n^2}$,也是一个$1^{\infty }$的未定式
• 利用上述结论,得$A=\lim \frac{1}{n}{n}^2$=$n$,$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^{n^2}$=$e^A$=$e^n$,由于$n\to \infty$所以$e^n\to \infty$,所以极限不存在

这篇关于三部曲法求未定式极限中的1无穷次方型的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---