ZC序列理论学习及仿真

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前言

ZC 序列和 m 序列是数字通信中常用的两种序列，在编码和解码过程中起到重要的作用。本文作为 ZC 序列学习笔记，主要研究 ZC 序列的一些性质，并通过 MATLAB 对其进行仿真验证。

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一、ZC 序列理论

1、基本概念

ZC 序列（Zadoff-Chu 序列）是一种具有良好性质的离散序列，它是一种复数序列，在通信系统中广泛应用。它由 Zadoff 和 Chu 于 1964 年提出，是一种特殊的线性调频脉冲压缩序列。ZC 序列常用于通信系统中的同步和信道估计等方面。

• ZC 序列的自相关性是指序列与其自身进行相关运算后的结果。自相关性能够体现序列的周期性和重复性，对于同步和信道估计非常重要。
• ZC 序列的互相关性是指序列与其他序列进行相关运算后的结果。互相关性能够体现序列之间的相似程度，对于信道估计和多用户检测等方面有着重要作用。

ZC 序列常用于各种无线通信系统中，如 LTE（Long Term Evolution）、WiMAX（Worldwide Interoperability for Microwave Access）、GNSS（Global Navigation Satellite System）等。它们被广泛应用于信号处理和通信领域，以提高系统性能和可靠性。

2、表达式

ZC 序列常用于随机接入（Random Access）中以生成 preamble 序列，其表达式如下图所示：

ZC 序列有两个重要的参数：

• 根索引（root index）：对应上图中物理根序列号 $u$，$u$ 是由逻辑根序列号查表获取；
• ZC 序列的长度：对应上图中根序列长度 $L_{RA}$，一定得是奇数（常常是质数）；

对于任意 ZC 序列，在长度 $L_{RA}$ 和根序列 $u$ 的取值确定的情况下，便可确定根序列 $i$。

注意到：每个 ZC 序列的长度为 $L_{RA}$，而ZC序列的序列空间大小为 $L_{RA}-1$，即一共有 $L_{RA}-1$ 个 ZC 序列。

我们可以发现，ZC 序列的值是一个复数，由欧拉公式 $e^{j\alpha }=cos(\alpha )+jsin(\alpha )$，即可得到该复数的实部和虚部，除此之外，还可以发现它的幅值恒为 1，其实在复数坐标系中，它都是在单位圆上。

3、ZC 序列一些定义

①、自相关

离散时间序列的自相关函数定义为：
$$R_n=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[k]x^{\ast }[k+n]$$

• $x[k]$ 为调制序列；
• $x^{\ast }[k+n]$ 为 $x[k]$ 时延信号的共轭。

②、循环移位

一个长度为 $N$ 的有限长序列 $x[n]$，其 m 次循环移位公式如下：
$$x^m[n]=x[(n+m)modN]，m=0,1,2,...,N-1$$
一共有 $N$ 个循环移位序列（包括本身）。

③、循环自相关

循环自相关也叫周期自相关，长度为 $N$ 的有限长序列 $x[n]$ 的序列循环自相关公式为：
$$R_0=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]x^{\ast }[n]$$

归一化的循环自相关公式为：
$${\overline{R}}_{xx}[\tau ]=\frac{1}{N}{R}_{xx}[\tau ]$$
显而易见，${\overline{R}}_{xx}[0]=1，{\overline{R}}_{xx}[\tau \ne 0]\le 1$。

④、循环互相关

循环互相关也叫周期互相关，给定长度为 $N$ 的两个有限长序列 $x[n]$ 和 $y[n]$，它们的循环互相关公式为：
$$R_{xy}=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]y^{\ast }[n]$$
类似地，我们可以定义归一化的循环互相关公式为：
$${\overline{R}}_{xy}[\tau ]=\frac{1}{N}{R}_{xy}[\tau ]$$
一般地，我们把 ${\overline{R}}_{xy}[0]$ 称为两个序列的互相关。

二、ZC 序列性质

1、性质 1：恒包络，即等模

任意长度的 ZC 序列幅值恒定，这也意味着功率恒定，这个好处就是射频器件不用忽大忽小的改变放大能量。为什么能够恒包络？看 ZC 序列的生成表达可以看到，本质就是一个底数为 e 的指数序列，每一个序列值代表单位圆上的一个点。每一个点值，仅是改变相位而已。复指数是一个二维 I、Q 的平面图。

令 $u=10$，$L_{RA}=839$，绘制的复平面图形如下：

2、性质 2：零循环自相关

一个 ZC 序列的循环自相关是最优的，因为对于所有的非零移位序列，与原序列的自相关都等于 0

ZC 序列循环移位 N，如果 N 不等于 ZC 序列的长度（N 等于序列长度，循环移位后回到起始点了），则移位后的序列和原序列不相关。啥意思？就是说虽然本是同根生，但是只要屁股挪了一下，哪怕是挪一位，那长得一点都不像没有挪前的样子。这个性质有什么好处？假如没挪前的序列表示一个 UE，挪位后的序列表示另一个 UE，那么基站用根序列与接收到的序列一相关运算，就知道有几个 UE 在向他打报告申请资源了。至于“相关”运算，可以理解为查看两条序列长得“像不像”的工具，长得“像”，相关峰值就又直又高耸入云，长得不“像”，相关峰值就软绵绵趴在地上。

ZC 序列循环移位后，原序列和移位后的相关峰值出现在移位大小的位置。

3、性质 3：固定循环互相关

对相同长度的两个 ZC 序列，即一个序列的 root index 为 $q_1$，另一个序列的 root index 为 $q_2$，且 $q_1\ne q_2$，那么两个序列的归一化循环互相关值正好等于 $1/\sqrt{N_{zc}}$，这里一般假设 $N_{zc}$ 是质数，或者更一般地，认为 $|q_1-q_2|$ 与 $N_{zc}$ 互质。

4、其他性质

①、傅里叶变换后仍是 ZC 序列

这个性质，简直就是为 OFDM 系统量身打造，也省去多少运算量。既可以在时域相关，也可以在频域相关，灵活决定姿势，怎么方便怎么来。

OFDM 本质是多个并行的子载波采用正交 IQ 调制，然后相加在一起，以单个子载波对应的时间周期T，离散化后，刚好是一个离散逆傅立叶变换IFFT，这是 OFDM 调制采用 IFFT 变换的本质。

②、低峰均比

对于发端，ZC 序列峰均比低（ZC 序列时频域都是 ZC 序列，且幅值恒定），有利于射频功放信号发挥最大的效率。

对于信道估计，ZC 序列幅值恒定，其图形可看作一个单位圆。

序列长度对序列的影响：ZC 序列越长，序列间的互相关性越差。在做多用户 RA 时，序列间的互相关性越差，某一序列对其他序列造成的干扰越小，从而提高序列检测的正确率。因此，ZC序列越长，检测性能越好。

③、序列间的正交性

• 相同 root index 的两个 ZC 序列彼此正交；
• 不同 root index 的两个 ZC 序列由于其彼此互相关性非零，因此不再具有正交性；

三、MATLAB 仿真

1、ZC 序列生成

MATLAB 上已经有函数专门产生 ZC 序列的函数：zadoffChuSeq
注：zadoffChuSeq 用在 R2019a 版本及以后，之前的版本使用 lteZadoffChuSeq 函数，这两个函数只是名字发生了变化。

使用方法：

seq = zadoffChuSeq(R,N)		% 生成长度为 N 的第 R 根的 Zadoff-Chu 序列 

例如我们生成长度为 139，根序列号为 25 的 Zadoff-Chu 序列，并输出序列的离散复数点、绘制复平面散点图及模值：

seq = zadoffChuSeq(25, 139);
disp(seq);
figure;
scatter(real(seq), imag(seq), 'filled');
xlabel('Real Part');
ylabel('Imaginary Part');
title('Complex Plot of seq');figure;
plot(abs(seq));
xlabel('Sample Index');
ylabel('Magnitude');
title('Magnitude of seq');

仿真结果如下：

①、复数点

生成的输出序列的离散复数点如下：

   1.0000 + 0.0000i0.4266 - 0.9044i-0.9693 + 0.2461i0.8789 - 0.4770i0.3004 + 0.9538i-0.3219 + 0.9468i0.1687 + 0.9857i0.9746 - 0.2241i-0.9875 - 0.1576i0.8323 - 0.5544i0.7788 + 0.6273i0.6869 + 0.7268i0.9837 - 0.1798i-0.6702 - 0.7421i0.7497 + 0.6618i-0.8679 + 0.4967i-0.9693 - 0.2461i-0.9936 + 0.1128i0.0339 + 0.9994i0.4670 - 0.8842i0.1240 + 0.9923i-0.9571 + 0.2896i-0.9997 + 0.0226i-0.6360 + 0.7717i0.9634 + 0.2679i-0.9571 - 0.2896i0.6869 - 0.7268i0.9959 + 0.0903i0.9908 - 0.1352i0.0790 - 0.9969i-0.6702 + 0.7421i0.2570 - 0.9664i0.9746 + 0.2241i0.8064 + 0.5914i0.9959 - 0.0903i-0.3643 - 0.9313i0.2131 + 0.9770i-0.9271 - 0.3748i-0.1464 - 0.9892i-0.2351 - 0.9720i-0.9936 - 0.1128i0.6184 + 0.7858i-0.8446 - 0.5354i0.6184 - 0.7858i0.9353 - 0.3538i0.5823 - 0.8130i-0.8895 - 0.4570i0.7190 + 0.6950i-0.9977 + 0.0678i-0.4469 - 0.8946i-0.4060 - 0.9139i-0.9977 - 0.0678i0.5450 + 0.8385i-0.7031 - 0.7111i0.8565 - 0.5162i0.9908 + 0.1352i0.9504 - 0.3112i-0.3219 - 0.9468i-0.1015 + 0.9948i-0.5638 - 0.8259i0.6533 - 0.7571i0.7788 - 0.6273i-0.0565 - 0.9984i-0.8446 + 0.5354i0.8064 - 0.5914i0.2570 + 0.9664i-0.5259 + 0.8506i-0.2351 + 0.9720i0.9353 + 0.3538i-0.6005 - 0.7996i0.9353 + 0.3538i-0.2351 + 0.9720i-0.5259 + 0.8506i0.2570 + 0.9664i0.8064 - 0.5914i-0.8446 + 0.5354i-0.0565 - 0.9984i0.7788 - 0.6273i0.6533 - 0.7571i-0.5638 - 0.8259i-0.1015 + 0.9948i-0.3219 - 0.9468i0.9504 - 0.3112i0.9908 + 0.1352i0.8565 - 0.5162i-0.7031 - 0.7111i0.5450 + 0.8385i-0.9977 - 0.0678i-0.4060 - 0.9139i-0.4469 - 0.8946i-0.9977 + 0.0678i0.7190 + 0.6950i-0.8895 - 0.4570i0.5823 - 0.8130i0.9353 - 0.3538i0.6184 - 0.7858i-0.8446 - 0.5354i0.6184 + 0.7858i-0.9936 - 0.1128i-0.2351 - 0.9720i-0.1464 - 0.9892i-0.9271 - 0.3748i0.2131 + 0.9770i-0.3643 - 0.9313i0.9959 - 0.0903i0.8064 + 0.5914i0.9746 + 0.2241i0.2570 - 0.9664i-0.6702 + 0.7421i0.0790 - 0.9969i0.9908 - 0.1352i0.9959 + 0.0903i0.6869 - 0.7268i-0.9571 - 0.2896i0.9634 + 0.2679i-0.6360 + 0.7717i-0.9997 + 0.0226i-0.9571 + 0.2896i0.1240 + 0.9923i0.4670 - 0.8842i0.0339 + 0.9994i-0.9936 + 0.1128i-0.9693 - 0.2461i-0.8679 + 0.4967i0.7497 + 0.6618i-0.6702 - 0.7421i0.9837 - 0.1798i0.6869 + 0.7268i0.7788 + 0.6273i0.8323 - 0.5544i-0.9875 - 0.1576i0.9746 - 0.2241i0.1687 + 0.9857i-0.3219 + 0.9468i0.3004 + 0.9538i0.8789 - 0.4770i-0.9693 + 0.2461i0.4266 - 0.9044i1.0000 - 0.0000i

②、复平面散点图

对应的复平面上的散点图见下图，为单位圆：

③、模值

对应的模值如下图，恒定为 1

2、ZC 序列循环移位

在对某一个 ZC 序列进行循环移位时，可使用 MATLAB 自带 circshift() 函数
语法：

Y = circshift(A,K)
Y = circshift(A,K,dim)

说明：

• Y = circshift(A,K) 循环将 A 中的元素平移 K 个位置。如果 K 为整数，则 circshift 沿大小不等于 1 的第一个 A 维度进行平移。如果 K 为整数向量，则每个 K 元素指示 A 的对应维度中的平移量。
• Y = circshift(A,K,dim) 循环将 A 中的值沿维度 dim 平移 K 个位置。输入 K 和 dim 必须为标量。

生成长度为 11，根序列号为 1 的 Zadoff-Chu 序列，循环移位长度为 3

Seq1 = zadoffChuSeq(1,11);
Seq2 = circshift(Seq1,3);

仿真运行时打断点可以看到原 Seq1 和移位后的 Seq2

3、ZC 序列自相关函数

我们还是使用上面生成长度为 139，根序列号为 25 的 Zadoff-Chu 序列，绘制 ZC 序列的自相关函数

seq = zadoffChuSeq(25,139);
[r,lags] = xcorr(seq);
plot(lags, abs(r));
xlabel('滞后索引');
ylabel('自相关');
title('ZC序列自相关');

仿真结果如下：

可以看到 ZC 序列具有集中的主瓣。

自相关的结果为 2N-1 个点，即 2 * 139 - 1 = 277 个点，关于 N=139 对称（这里从 -138 开始，因此关于 0 对称）。

有关 MATLAB 中自相关函数可以参考这个博客：一个例子学会自相关互相关的计算

4、ZC 序列循环自相关

seq1 = zadoffChuSeq(25,139);corr = fftshift(fft(seq1)) .* conj(fftshift(fft(seq1)));
subplot(2,1,1);
plot(abs(ifft(ifftshift(corr))));
xlabel('滞后索引');
ylabel('自相关');
title('ZC序列自相关');seq2 = circshift(seq1, 10); % 循环移位 10
corr = fftshift(fft(seq2)) .* conj(fftshift(fft(seq1)));
subplot(2,1,2);
plot(abs(ifft(ifftshift(corr))));
xlabel('滞后索引');
ylabel('循环自相关');
title('ZC序列循环自相关');

仿真结果如下：


从仿真结果可以看出，ZC 序列具有良好的循环自相关特性且自相关峰值尖锐，对于任意 ZC 序列与其循环移位 a 位后的序列互不相关 $a\ne 0$；

从图中可以看到 ZC 序列循环移位后，原序列和移位后的相关峰值出现在移位大小的位置。

由此可得下面结论：

ZC 序列循环移位 N 后，原序列只与移位后的序列得良好的相关峰值且峰值在N处，其它位置的相关峰值为 0，这也是 preamble 检测的理论依据。

5、ZC 序列循环互相关

如果不同根产生的 ZC 序列进行相关运算会发生什么情况呢？下面我们构造两个根为 11 和 7 并且长度 N = 67 的 ZC 序列。

seq1 = zadoffChuSeq(11,67);
seq2 = zadoffChuSeq(7,67);corr = fftshift(fft(seq1)) .* conj(fftshift(fft(seq2)));
figure;
plot(abs(ifft(ifftshift(corr))));
xlabel('滞后索引');
ylabel('自相关');
title('ZC序列互相关');

两个不同根序列相关运算后的结果如下图：

N=67,u1=11,u2=7, ZC序列互相关函数

因此可得结论：若 $N$ 与 $|u_1-u_2|$ 互质，则互相关函数 $|R_{u_1{u}_2}|=\sqrt{N}$

我们从图上看出，对于不同根的序列再进行相关运算之后，不会产生像上面相同根的序列那样会产生又高又细的相关峰。

下面我们再构造两个根为 17 和 8 并且长度 N = 63 的 ZC 序列。

seq1 = zadoffChuSeq(17,63);
seq2 = zadoffChuSeq(8,63);corr = fftshift(fft(seq1)) .* conj(fftshift(fft(seq2)));
figure;
plot(abs(ifft(ifftshift(corr))));
xlabel('滞后索引');
ylabel('自相关');
title('ZC序列互相关');

两个不同根序列相关运算后的结果如下图：

N=63,u1=17,u2=8, ZC序列互相关函数

因此可得结论：若 N 为奇数，假设 $N$ 与 $|u_1-u_2|$ 有最大公约数 $\delta \ne$，则互相关函数 $|R_{u_1{u}_2}=\sqrt{\delta N}|$
$$|R_{u_1{u}_2}|=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\delta N}& n=k\delta \\ 0& n\ne k\delta \end{array},k=1,2,...,\frac{N}{\delta }$$

上面我们说过：对相同长度的两个 ZC 序列，即一个序列的 root index 为 $q_1$，另一个序列的 root index 为 $q_2$，且 $q_1\ne q_2$，那么两个序列的归一化循环互相关值正好等于 $1/\sqrt{N_{zc}}$，这里一般假设 $N_{zc}$ 是质数，或者更一般地，认为 $|q_1-q_2|$ 与 $N_{zc}$ 互质。

这里我们进行仿真证明一下：

tmp = [];
for i = 1: 10for j = (i+1) : 10if i < jSeqi = zadoffChuSeq(i,11); Seqj = zadoffChuSeq(j,11); cross_corr = abs(dot(Seqi, Seqj))/11;tmp = [tmp, cross_corr];endend
end
figure;
stem(tmp);

仿真图如下：

验证了我们上面所说的结论：两个序列的归一化循环互相关值正好等于 $1/\sqrt{N_{zc}}=1/\sqrt{11}\approx 0.3015$

6、ZC 序列傅里叶变换

这里介绍一下对 ZC 序列做完傅里叶变换后，再去分析复平面散点图及循环自相关特性

seq1 = zadoffChuSeq(25,139);
fft_seq1 = fft(seq1);figure;
scatter(real(fft_seq1), imag(fft_seq1));
xlabel('实部');
ylabel('虚部');
title('ZC序列fft后复平面表示');corr = fftshift(fft(fft_seq1)) .* conj(fftshift(fft(fft_seq1)));
figure;
plot(abs(ifft(ifftshift(corr))));
xlabel('滞后索引');
ylabel('循环自相关');
title('ZC序列fft后自相关');fft_seq2 = circshift(fft_seq1, 10); % 右移
corr = fftshift(fft(fft_seq2)) .* conj(fftshift(fft(fft_seq1)));
figure;
plot(abs(ifft(ifftshift(corr))));
xlabel('滞后索引');
ylabel('循环自相关');
title('ZC序列fft后循环自相关');

仿真结果如下：



从上图仿真可以看出，结果显而易见，经过傅里叶变换之后的序列仍然具有同样的特性。

7、ZC 序列低峰均比特性

seq_lengths = 1:500:9999; % 不同的序列长度% 存储实部和虚部的峰均比值
real_part_PAPR_values = zeros(1, numel(seq_lengths));
imaginary_part_PAPR_values = zeros(1, numel(seq_lengths));for i = 1:numel(seq_lengths)seq1 = zadoffChuSeq(1, seq_lengths(i)); % 生成不同长度的ZC序列% 计算实部的峰值功率和均值功率real_part = real(seq1);real_part_peak_power = max(abs(real_part))^2;real_part_average_power = mean(abs(real_part))^2;% 计算虚部的峰值功率和均值功率imaginary_part = imag(seq1);imaginary_part_peak_power = max(abs(imaginary_part))^2;imaginary_part_average_power = mean(abs(imaginary_part))^2;% 计算实部和虚部的峰均比real_part_PAPR = 10 * log10(real_part_peak_power / real_part_average_power);imaginary_part_PAPR = 10 * log10(imaginary_part_peak_power / imaginary_part_average_power);real_part_PAPR_values(i) = real_part_PAPR; % 存储实部的峰均比值imaginary_part_PAPR_values(i) = imaginary_part_PAPR; % 存储虚部的峰均比值
end% 绘制实部峰均比图
subplot(2, 1, 1);
plot(seq_lengths, real_part_PAPR_values, '-o');
xlabel('序列长度');
ylabel('峰均比（dB）');
title('ZC序列实部峰均比');
grid on;% 绘制虚部峰均比图
subplot(2, 1, 2);
plot(seq_lengths, imaginary_part_PAPR_values, '-o');
xlabel('序列长度');
ylabel('峰均比（dB）');
title('ZC序列虚部峰均比');
grid on;

仿真结果如下：


可以看到，ZC 序列峰均比较低，从而有利于射频功放信号发挥最大的效率。

参考文献：5GNR漫谈13：Zadoff –Chu（ZC）序列性质

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