重积分的应用@物理应用部分@质心@转动惯量@引力

2023-12-03 08:36

本文主要是介绍重积分的应用@物理应用部分@质心@转动惯量@引力,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

文章目录

    • abstract
    • 相关概念
      • 质心
      • 重心
    • 质心的计算
      • 平面质心基本概念
      • 薄片质心
      • 静矩元素
      • 薄片质心坐标
      • 均匀薄片的质心
      • 形心坐标
      • 对称图形的质心
      • 空间体的质心
      • 均匀半球的质心
    • 转动惯量
      • 平面薄片的转动惯量
      • 计算方法
      • 空间体的情形
    • 引力(`*`)

abstract

  • 重积分的应用(物理应用)
    • 质心
    • 转动惯量
    • 引力
  • 元素法的应用

相关概念

  • 质心 (wikipedia.org)

质心

  • 质心为多质点系统的质量中心

    • 若对该施力,系统会沿着力的方向运动、不会旋转
    • 质点位置质量加权取平均值,可得质心位置。
  • 以质心的概念计算力学通常比较简单。

  • 质心对应的英文有 center of mass 与 barycenter(或 barycentre)。

    • 后者指两个或多个物体互绕物体的质量中心。
  • 在几何学,质心不等同于重心,是二维形状的几何中心。

重心

  • 重力作用的平均位置,定义为各质点相对于重心(质心)的位置向量乘上各质点的重力之和(合力矩)为零。

  • 质心不一定要在有重力场的系统中才会有意义,而重心则否。

  • 值得注意的是,除非重力场是均匀的,否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。

  • 对于密度均匀、形状对称分布的物体,其质心位于其几何中心处

  • 在两质点系统中,取质心为原点,两质点连线为x轴,则两质点坐标 x 1 x_1 x1 x 2 x_2 x2与质量 m 1 m_{1} m1 m 2 m_{2} m2有如下关系:
    x 1 x 2 = − m 2 m 1 {\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}=-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}} x2x1=m1m2

质心的计算

平面质心基本概念

  • 设在平面 x O y xOy xOy上有 n n n质点,它们分别位于点 P 1 ( x 1 , y 1 ) , ⋯ , P n ( x n , y n ) P_1(x_1,y_1),\cdots,P_n(x_n,y_n) P1(x1,y1),,Pn(xn,yn)处,质量分别为 m 1 , ⋯ , m n m_1,\cdots,m_n m1,,mn

  • 由力学知识,该质点系 P P P的质心坐标为(1)

    • x ‾ \overline{x} x= M y M \frac{M_{y}}{M} MMy(1-1)
    • y ‾ \overline{y} y= M x M \frac{M_{x}}{M} MMx(1-2)
  • 相关概念:

    • 式组(1)中

      • M M M= ∑ i = 1 n m i {\sum_{i=1}^{n}m_{i}} i=1nmi;
      • M y M_{y} My= ∑ i = 1 n m i x i {\sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i}} i=1nmixi;
      • M x M_{x} Mx= ∑ i = 1 n m i y i {\sum_{i=1}^{n}m_{i}}y_{i} i=1nmiyi
    • 其中 M M M称为质点系的总质量

    • M y , M x M_{y},M_{x} My,Mx分别为改质点系对 y y y轴和 x x x轴的静矩

薄片质心

  • 设有一平面薄片,占有坐标面 x O y xOy xOy面上的闭区域 D D D
    • 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的面密度 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y),假定 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y) D D D上连续,现在要找到该薄片的质心的坐标

静矩元素

  • 在闭区域 D D D上任取一直径很小的闭区域 d σ \mathrm{d}\sigma dσ(其面积也极为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ), P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)是着小闭区域上的一点
  • 因为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的直径很小,且 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y) D D D上连续,所以薄片相应于 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的部分的质量 m m m,近似于 μ ( x , y ) d σ \mu(x,y)\mathrm{d}\sigma μ(x,y)dσ,这部分质量可以近似看作集中在点 P P P上,于是有静矩元素:
    • d M y \mathrm{d}M_{y} dMy= x μ ( x , y ) d σ x\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma (x,y)dσ,(2-1)
    • d M x = y μ ( x , y ) d σ \mathrm{d}M_{x}=y\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma dMx=yμ(x,y)dσ(2-2)

薄片质心坐标

  • 以上述元素为被积表达式,在闭区域 D D D上积分,可得
    • M y M_{y} My= ∬ D x μ ( x , y ) d σ \iint_{D}x\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma D(x,y)dσ,(3-1)
    • M x M_{x} Mx= ∬ D y μ ( x , y ) d σ \iint_{D}y\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma Dyμ(x,y)dσ(3-2)
  • 而薄片的质量可以直接有二重积分得到 M M M= ∬ D μ ( x , y ) d σ \iint_{D}\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma Dμ(x,y)dσ(4)
  • 所以薄片的质心的坐标为(将式(3-1,3-2,4)分别代入到(1-1,1-2)),所得坐标就是薄片质心坐标

均匀薄片的质心

  • 若薄片是均匀的,即面密度 μ \mu μ常量,则式中 μ \mu μ提到积分号外面,并从分子分母中约去,得公式(5)

    • x ‾ \overline{x} x= 1 A ∬ D x d σ \frac{1}{A}\iint_{D}x\mathrm{d}\sigma A1Dxdσ
    • y ‾ \overline{y} y= 1 A ∬ D y d σ \frac{1}{A}\iint_{D}y\mathrm{d}\sigma A1Dydσ
    • 其中 A A A= ∬ D d σ \iint_{D}\mathrm{d}\sigma Ddσ为闭区域 D D D的面积

形心坐标

  • 这时薄片的质心完全由闭区域 D D D的形状所决定,我们把均匀平面薄片的质心称为平面薄片所占的平面图形形心
  • 因此,平面图形 D D D形心的坐标,可以用公式(5)计算
  • 而空间区域的形心可以用公式(5')
    • x ‾ \overline{x} x= 1 M ∭ Ω x d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}x\mathrm{d}v M1Ωxdv
    • y ‾ \overline{y} y= 1 M ∭ Ω y d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}y\mathrm{d}v M1Ωydv
    • z ‾ \overline{z} z= 1 M ∭ Ω z d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v M1Ωzdv
    • 其中 M M M= ∭ Ω d v \iiint_{\Omega}\mathrm{d}v Ωdv
  • Ω \Omega Ω= { ( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ z ⩽ 1 } \set{(x,y,z)|x^2+y^2\leqslant{z}\leqslant{1}} {(x,y,z)x2+y2z1},则 Ω \Omega Ω的形心的竖坐标(z轴坐标)?
    • 分析 Ω \Omega Ω区域是一个顶点位于 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0)的开口向上的旋转抛物面,被平面 z = 1 z=1 z=1所截,取 z ∈ [ 0 , 1 ] z\in[0,1] z[0,1]的部分
    • 利用公式 z ‾ \overline{z} z= 1 M ∭ Ω z d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v M1Ωzdv计算
      • 需要计算下面两个积分,使用先二后一的顺序积分较为方便
        • M M M= ∭ Ω d v \iiint_{\Omega}\mathrm{d}v Ωdv= ∫ 0 1 d z ∬ x 2 + y 2 ⩽ z d v \int_{0}^{1}\mathrm{d}z\iint_{x^2+y^2\leqslant{z}}\mathrm{d}v 01dzx2+y2zdv= ∫ 0 1 π z d z \int_{0}^{1}\pi{z}\mathrm{d}z 01πzdz= π 2 \frac{\pi}{2} 2π
        • 注意投影面 D z : x 2 + y 2 ⩽ z D_{z}:x^2+y^2\leqslant{z} Dz:x2+y2z是一个圆域,半径为 z \sqrt{z} z ,(而不是 z z z)
        • 面积为 π z \pi{z} πz
        • ∭ Ω z d v \iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v Ωzdv= ∫ 0 1 z d z ∬ x 2 + y 2 ⩽ z d v \int_{0}^{1}z\mathrm{d}z\iint_{x^2+y^2\leqslant{z}}\mathrm{d}v 01zdzx2+y2zdv= ∫ 0 1 π z 2 d z \int_{0}^{1}\pi{z^2}\mathrm{d}z 01πz2dz= π 3 \frac{\pi}{3} 3π
    • 综上, z ‾ \overline{z} z= 2 3 \frac{2}{3} 32

对称图形的质心

  • 若均匀平面薄片由对称轴,则质心一定位于对称轴上
  • 反证法:设质心不再对称轴上,则质心一定倾斜)

  • 求位于两圆 ρ = 2 sin ⁡ θ \rho=2\sin\theta ρ=2sinθ, ρ = 4 sin ⁡ θ \rho=4\sin\theta ρ=4sinθ之间的均匀薄片的质心
    • 容易确定两个圆的半径分别为 1 , 2 1,2 1,2,圆心分别为 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1), ( 0 , 2 ) (0,2) (0,2)
    • 由于所研究薄片关于 x = 0 x=0 x=0对称,所以质心一定在 x = 0 x=0 x=0
    • y ‾ \overline{y} y= 1 A ∬ D y d σ \frac{1}{A}\iint_{D}y\mathrm{d}\sigma A1Dydσ= 1 ( 4 π − π ) ∫ 0 π d θ ∫ 2 sin ⁡ θ 4 sin ⁡ θ ρ sin ⁡ θ ⋅ ρ d ρ \frac{1}{(4\pi-\pi)} \int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta \int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta}\rho\sin\theta\cdot\rho\mathrm{d}\rho (4ππ)10πdθ2sinθ4sinθρsinθρdρ= 1 3 π ⋅ 7 π \frac{1}{3\pi}\cdot{7\pi} 3π17π= 7 3 \frac{7}{3} 37
      • 其中 ∫ 2 sin ⁡ θ 4 sin ⁡ θ ρ sin ⁡ θ ⋅ ρ d ρ \int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta}\rho\sin\theta\cdot\rho\mathrm{d}\rho 2sinθ4sinθρsinθρdρ= 56 3 ∫ 0 π sin ⁡ 4 θ d θ \frac{56}{3}\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\theta\mathrm{d}\theta 3560πsin4θdθ= 14 3 ( 1 − 2 cos ⁡ θ + cos ⁡ 2 2 θ ) \frac{14}{3}(1-2\cos\theta+\cos^22\theta) 314(12cosθ+cos22θ)= 14 3 ( θ − sin ⁡ 2 θ + 1 2 ( 1 + cos ⁡ 4 θ ) ) ∣ 0 π \frac{14}{3}(\theta-\sin{2\theta}+\frac{1}{2}(1+\cos4\theta))|_{0}^{\pi} 314(θsin2θ+21(1+cos4θ))0π= 7 π 7\pi 7π
    • 因此,所求质心为 C ( 0 , 7 3 ) C(0,\frac{7}{3}) C(0,37)

空间体的质心

  • 设占有空间有界闭区域 Ω \Omega Ω,在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的密度(体密度)为 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)

    • 假定 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z) Ω \Omega Ω上连续
  • 则物体的质心坐标(6):

    1. x ‾ \overline{x} x= 1 M ∭ Ω x ρ ( x , y , z ) d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}x\rho(x,y,z)\mathrm{d}v M1Ωxρ(x,y,z)dv
    2. y ‾ \overline{y} y= 1 M ∭ Ω y ρ ( x , y , z ) d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}{y\rho(x,y,z)}\mathrm{d}v M1Ωyρ(x,y,z)dv
    3. z ‾ \overline{z} z= 1 M ∭ Ω z ρ ( x , y , z ) d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}z\rho(x,y,z)\mathrm{d}v M1Ωzρ(x,y,z)dv
  • 其中 M M M= ∭ Ω ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}\rho(x,y,z)\mathrm{d}v Ωρ(x,y,z)dv(7)

  • 类似的,若空间体是均匀的,则体密度 ρ \rho ρ是常数,可以提出到积分号前面

  • M M M= ρ ∭ Ω d v \rho\iiint_{\Omega}\mathrm{d}v ρΩdv= ρ V \rho{V} ρV(7-1),其中 V V V= ∭ Ω d v \iiint_{\Omega}\mathrm{d}v Ωdv表示 Ω \Omega Ω的体积,即有 1 M ρ \frac{1}{M}\rho M1ρ= 1 V \frac{1}{V} V1(7-2),从而有(8)

    1. x ‾ \overline{x} x= 1 V ∭ Ω x d v \frac{1}{V}\iiint_{\Omega}x\mathrm{d}v V1Ωxdv
    2. y ‾ \overline{y} y= 1 V ∭ Ω y d v \frac{1}{V}\iiint_{\Omega}y\mathrm{d}v V1Ωydv
    3. z ‾ \overline{z} z= 1 V ∭ Ω z d v \frac{1}{V}\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v V1Ωzdv

均匀半球的质心

  • 整个均匀球的质心容易确定就是球心,现在我们看半球的质心
  • 取半球体的对称轴 z z z轴,原点取在球心上,又设半径为 a a a
    • 半球体所占空间闭区域 Ω \Omega Ω= { ( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 + z 2 ⩽ a 2 , z ⩾ 0 } \set{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\leqslant{a^2},z\geqslant{0}} {(x,y,z)x2+y2+z2a2,z0}
    • 显然,质心在 z z z轴上,故 x ‾ = y ‾ = 0 \overline{x}=\overline{y}=0 x=y=0
    • 而由公式(8-3), z ‾ \overline{z} z= 1 V ∭ Ω z d v \frac{1}{V}\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v V1Ωzdv
      • 其中 V = 2 3 π a 3 V=\frac{2}{3}\pi{a^3} V=32πa3为半球的体积
      • 用球坐标计算: ∭ Ω z d v \iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v Ωzdv= ∭ Ω r cos ⁡ ϕ ⋅ r 2 sin ⁡ ϕ d r d ϕ d θ \iiint_{\Omega}r\cos\phi\cdot{r^2\sin\phi}\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta Ωrcosϕr2sinϕdrdϕdθ= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 a r 3 d r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\phi\cos\phi\mathrm{d}\phi \int_{0}^{a}r^3\mathrm{d}r 02πdθ02πsinϕcosϕdϕ0ar3dr= 2 π ⋅ 1 2 ⋅ a 4 4 2\pi\cdot{\frac{1}{2}}\cdot\frac{a^4}{4} 2π214a4= π a 4 4 \frac{\pi{a^{4}}}4 4πa4
    • 从而 z ‾ \overline{z} z= 3 8 \frac{3}{8} 83
  • 则质心为 ( 0 , 0 , 3 8 a ) (0,0,\frac{3}{8}a) (0,0,83a)

转动惯量

平面薄片的转动惯量

  • 设在平面 x O y xOy xOy上有 n n n质点,它们分别位于点 P 1 ( x 1 , y 1 ) , ⋯ , P n ( x n , y n ) P_1(x_1,y_1),\cdots,P_n(x_n,y_n) P1(x1,y1),,Pn(xn,yn)处,质量分别为 m 1 , ⋯ , m n m_1,\cdots,m_n m1,,mn

  • 由力学知识,该质点系 P P P对于 x x x轴和 y y y轴的转动惯量依次为

    • I x I_{x} Ix= ∑ i = 1 n m i y i 2 {\sum_{i=1}^{n}m_{i}}y^2_{i} i=1nmiyi2
    • I y I_y Iy= ∑ i = 1 n m i x i 2 {\sum_{i=1}^{n}m_{i}}x_{i}^2 i=1nmixi2
  • 设有一平面薄片,占有坐标面 x O y xOy xOy面上的闭区域 D D D

    • 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的面密度 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y),假定 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y) D D D上连续,
    • 现在要求该薄片对 x x x轴的转动惯量 I x I_x Ix以及对于 y y y轴的转动惯量 I y I_{y} Iy

计算方法

  • 应用元素法
  • 在闭区域 D D D上任意取一直径很小的闭区域 d σ \mathrm{d}\sigma dσ(设其面积也记为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ)
  • P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)是小闭区域上的一个点,因为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的直径很小,且 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y) D D D上连续,所以薄片中相应于 d σ \mathrm{d}\sigma dσ部分的质量近似等于 μ ( x , y ) d σ \mu(x,y)\mathrm{d}\sigma μ(x,y)dσ,这部分质量可以近似看作集中在点 P P P上,于是有薄片对于 x x x轴以及对于 y y y的转动惯量元素
    • d I x \mathrm{d}I_{x} dIx= y 2 μ ( x , y ) d σ y^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma y2μ(x,y)dσ(1-1)
    • d I y \mathrm{d}I_{y} dIy= x 2 μ ( x , y ) d σ x^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma x2μ(x,y)dσ(1-2)
  • 以这些元素为被积表达式,在闭区域 D D D上积分,便得
    • I x I_{x} Ix= ∬ D y 2 μ ( x , y ) d σ \iint_{D}y^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma Dy2μ(x,y)dσ(2-1)
    • I y I_y Iy= ∬ D x 2 μ ( x , y ) d σ \iint_{D}x^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma Dx2μ(x,y)dσ(2-2)

空间体的情形

  • 设占有空间有界闭区域 Ω \Omega Ω,在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的密度(体密度)为 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)
    • 假定 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z) Ω \Omega Ω上连续
  • 则物体对 x , y , z x,y,z x,y,z轴的转动惯量分别为(6):
    1. I x I_{x} Ix= ∭ Ω ( y 2 + z 2 ) ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}v Ω(y2+z2)ρ(x,y,z)dv
    2. I y I_{y} Iy= ∭ Ω ( z 2 + x 2 ) ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}(z^2+x^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}v Ω(z2+x2)ρ(x,y,z)dv
    3. I z I_{z} Iz= ∭ Ω ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}v Ω(x2+y2)ρ(x,y,z)dv
  • 其中 M M M= ∭ Ω ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}\rho(x,y,z)\mathrm{d}v Ωρ(x,y,z)dv(7)
  • 类似的,若空间体是均匀的,则体密度 ρ \rho ρ是常数,可以提出到积分号前面
  • 公式的应用:以公式(6-1)为例可以看出,计算转动惯量需要
    • 建立合适的坐标系
    • 被转动的 Ω \Omega Ω以及体密度 ρ \rho ρ,
      • 被积函数中的 y 2 + z 2 y^2+z^2 y2+z2则是公式中固定的部分
    • 而若 ρ \rho ρ是常数时,提到积分号前,则公式的计算关键就取决于 Ω \Omega Ω的形状

  • 求半径为 a a a均匀半圆薄片对于其直径边转动惯量 I I I
    • 密度为常数 μ \mu μ
    • 取半圆的直径中点为坐标系原点,直径和 x x x轴重合(半圆和 x x x轴交于 ( − a , 0 ) , ( a , 0 ) (-a,0),(a,0) (a,0),(a,0))
      • 则薄片所占闭区域 D = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ a 2 , y ⩾ 0 } D=\set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{a^2},y\geqslant{0}} D={(x,y)x2+y2a2,y0}
    • 则所求转动惯量即半圆薄片对于 x x x轴的转动惯量 I x I_{x} Ix= ∬ D y 2 μ d σ \iint_{D}y^2\mu\mathrm{d}\sigma Dy2μdσ= μ ∬ D ρ 3 sin ⁡ 2 θ d ρ d θ \mu\iint_{D}\rho^3\sin^{2}\theta\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta μDρ3sin2θdρdθ= μ ∫ 0 π d θ ∫ 0 a ρ 3 sin ⁡ 2 θ d ρ \mu\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{a}\rho^3\sin^{2}\theta\mathrm{d}\rho μ0πdθ0aρ3sin2θdρ= 1 4 μ a 4 π 2 \frac{1}{4}\mu{a^4}\frac{\pi}{2} 41μa42π= μ a 4 π 8 \frac{\mu{a^{4}}\pi}{8} 8μa4π
    • 若记为半圆薄片的质量 M M M= 1 2 π a 2 μ \frac{1}{2}\pi{a^2}\mu 21πa2μ
    • I x I_{x} Ix= 1 4 M a 2 \frac{1}{4}Ma^{2} 41Ma2

  • 求密度为 ρ \rho ρ均匀球对于过球心的一条轴 l l l转动惯量
    • 取球心为坐标原点, x x x轴与 l l l轴重合,
    • 又设球的半径为 a a a,则球所占空间闭区域为
      • Ω \Omega Ω= { ( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 + z 2 ⩽ a 2 } \set{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\leqslant{a^2}} {(x,y,z)x2+y2+z2a2}
    • 所求转动惯量即球对于 z z z轴的转动惯量为
      • I x I_{x} Ix= ∭ Ω ( y 2 + z 2 ) ρ d v \iiint_{\Omega}(y^2+z^2)\rho\mathrm{d}v Ω(y2+z2)ρdv= ρ ∭ Ω ( y 2 + z 2 ) d v \rho\iiint_{\Omega}(y^2+z^2)\mathrm{d}v ρΩ(y2+z2)dv
      • 该积分使用球坐标计算: I x I_{x} Ix= ρ ∭ Ω ( ( r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ) 2 + ( r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ) 2 ) ⋅ r 2 sin ⁡ ϕ d r d ϕ d θ \rho\iiint_{\Omega}((r\sin\phi\cos\theta)^2+(r\sin\phi\cos\theta)^2)\cdot{r^2\sin\phi} \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta ρΩ((rsinϕcosθ)2+(rsinϕcosθ)2)r2sinϕdrdϕdθ
        • = ρ ∭ Ω r 4 sin ⁡ 3 ϕ d r d ϕ d θ \rho\iiint_{\Omega} r^4\sin^{3}\phi\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta ρΩr4sin3ϕdrdϕdθ= ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sin ⁡ 3 ϕ d ϕ ∫ 0 a r 4 d r \rho\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\phi\mathrm{d}\phi\int_{0}^{a}r^{4}\mathrm{d}r ρ02πdθ0πsin3ϕdϕ0ar4dr= 2 5 a 2 M \frac{2}{5}a^2M 52a2M
        • 其中 M M M= 4 3 π a 3 ρ \frac{4}{3}\pi{a^3}\rho 34πa3ρ为球的质量

引力(*)

  • 这里讨论的是:空间一物体对于物体外一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_{0}(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)单位质量的质点引力

  • 仍然使用元素法,

    • 设占有空间有界闭区域 Ω \Omega Ω,在点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)处的密度(体密度)为 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z),并假定 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z) Ω \Omega Ω上连续;
    • 在物体内任意取一直径很小的闭区域 d v \mathrm{d}v dv,其体积也记为 d v \mathrm{d}v dv
    • P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)是这一小块闭区域上的一个点,因为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的直径很小,且 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z) D D D上连续,所以这一小块物体的质量 ρ d v \rho\mathrm{d}v ρdv近似看作集中在点 P P P
  • 并由两质点间的引力公式,可得元素对应的小块物体对位于 P 0 P_0 P0处的单位质量质点的引力近似为

    • d F \mathrm{d}\bold{F} dF= ( d F x , d F y , d F z ) (\mathrm{d}F_{x},\mathrm{d}F_{y},\mathrm{d}F_{z}) (dFx,dFy,dFz)= ( G ρ ( x , y , z ) ( x − x 0 ) r 3 d v , G ρ ( x , y , z ) ( y − y 0 ) r 3 d v , G ρ ( x , y , z ) ( z − z 0 ) r 3 d v ) \Large(G\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v, G\frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v, G\frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v) (Gr3ρ(x,y,z)(xx0)dv,Gr3ρ(x,y,z)(yy0)dv,Gr3ρ(x,y,z)(zz0)dv)
      • d F x , d F y , d F z \mathrm{d}F_{x},\mathrm{d}F_{y},\mathrm{d}F_{z} dFx,dFy,dFz为引力元素 d F \mathrm{d}\bold{F} dF在三个坐标轴上的分量
      • G G G为引力常数
    • d F x , d F y , d F z \mathrm{d}F_{x},\mathrm{d}F_{y},\mathrm{d}F_{z} dFx,dFy,dFz​在 Ω \Omega Ω​上分别积分,得 F \bold{F} F​= ( F x , F y , F z ) (F_{x},F_{y},F_{z}) (Fx,Fy,Fz)​= ( ∭ Ω G ρ ( x , y , z ) ( x − x 0 ) r 3 d v , ∭ Ω G ρ ( x , y , z ) ( y − y 0 ) r 3 d v , ∭ Ω G ρ ( x , y , z ) ( z − z 0 ) r 3 d v ) \Large(\iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v, \iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v, \iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v) (ΩGr3ρ(x,y,z)(xx0)dv,ΩGr3ρ(x,y,z)(yy0)dv,ΩGr3ρ(x,y,z)(zz0)dv)
  • 对于薄片情形,将 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)换为 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)(体密度换为面密度),三重积分化为二重积分即可得到相应公式

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