最短路之——弗洛伊德算法（floyd）

本文主要是介绍最短路之——弗洛伊德算法（floyd），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

来源： https://blog.csdn.net/riba2534/article/details/54562440

我们要做的是求出从某一点到达任意一点的最短距离，我们先用邻接矩阵来建图，map[i][j]表示从i点到j点的距离，把自己到自己设为0，把自己到不了的边初始化为无穷大，代码为：

 [cpp]  view plain copy 
//初始化  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        for(int j=1; j<=n; j++)  
            if(i==j)  
                map[i][j]=0;  
            else  
                map[i][j]=inf;  
    //读入边  
    for(int i=1; i<=m; i++)  
    {  
        scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);  
        map[t1][t2]=t3;  
    }  

最后，建好的图可以用表格来表示：

现在，我们来思考，假设我们来找一个中转的点，看他们的路程会不会改变，我们先以1号顶点作为中转点最为例子，制图：

我们发现，图有了变化，我们怎么判断以1号顶点作为中转点图的路程是不是更短呢，我们只需要判断map[i][1]+map[1][j]的路程是不是比map[i][j]的路程更短，就可以判断，

代码为：

 [cpp]  view plain copy 
for(int i=1; i<=n; i++)  
    for(int j=1; j<=n; j++)  
        if(map[i][1]+map[1][j]<map[i][j])  
            map[i][j]=map[i][1]+map[1][j];  

现在该怎么办呢，我们接着以2号顶点作为中转点，很简单代码修改一句就就可以：

 [cpp]  view plain copy 
for(int i=1; i<=n; i++)  
    for(int j=1; j<=n; j++)  
        if(map[i][2]+map[2][j]<map[i][j])  
            map[i][j]=map[i][2]+map[2][j];  

现在我们是不是发现了一个规律，只要不断的遍历每一个点，并且以每一个点作为中转点看看它的值会不会改变，就可以得到从一个点到任意一个点的最短路径，也就是多源最短路，这就是弗洛伊德算法，代码为：

 [cpp]  view plain copy 
for(int k=1; k<=n; k++)  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        for(int j=1; j<=n; j++)  
            if(map[i][k]+map[k][j]<map[i][j])  
                map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];  

这样就可以遍历每个顶点，找出所有的最短路，算法的复杂度为O(n^3).

对于我一开始提出的问题，完整的代码为：

 [cpp]  view plain copy 
#include <stdio.h>  
#include <string.h>  
#include <string>  
#include <iostream>  
#include <stack>  
#include <queue>  
#include <vector>  
#include <algorithm>  
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))  
using namespace std;  
const int inf=1<<29;  
int main()  
{  
    int map[10][10],n,m,t1,t2,t3;  
    scanf("%d%d",&n,&m);//n表示顶点个数，m表示边的条数  
    //初始化  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
        for(int j=1; j<=n; j++)  
            if(i==j)  
                map[i][j]=0;  
            else  
                map[i][j]=inf;  
    //读入边  
    for(int i=1; i<=m; i++)  
    {  
        scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);  
        map[t1][t2]=t3;  
    }  
    //弗洛伊德(Floyd)核心语句  
    for(int k=1; k<=n; k++)  
        for(int i=1; i<=n; i++)  
            for(int j=1; j<=n; j++)  
                if(map[i][k]+map[k][j]<map[i][j])  
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];  
    for(int i=1; i<=n; i++)  
    {  
        for(int j=1; j<=n; j++)  
            printf("%10d",map[i][j]);  
        printf("\n");  
    }  
    return 0;  
}  