染色法求解“微信群覆盖”，没收获你锤我！

题目：求微信群覆盖

微信有很多群，现进行如下抽象：

(1) 每个微信群由一个唯一的gid标识；

(2) 微信群内每个用户由一个唯一的uid标识；

(3) 一个用户可以加入多个群；

(4) 群可以抽象成一个由不重复uid组成的集合，例如：

g1{u1, u2, u3}

g2{u1, u4, u5}

可以看到，用户u1加入了g1与g2两个群。

画外音，注意：

gid和uid都是uint64；

集合内没有重复元素；

假设微信有M个群(M为亿级别)，每个群内平均有N个用户(N为十级别).

现在要进行如下操作：

(1)  如果两个微信群中有相同的用户，则将两个微信群合并，并生成一个新微信群；

例如，上面的g1和g2就会合并成新的群：

g3{u1, u2, u3, u4, u5}；

画外音：集合g1中包含u1，集合g2中包含u1，合并后的微信群g3也只包含一个u1。

(2) 不断的进行上述操作，直到剩下所有的微信群都不含相同的用户为止；

将上述操作称：求群的覆盖。

设计算法，求群的覆盖，并说明算法时间与空间复杂度。

画外音：58同城2013年校招笔试题。

前文《暴力法求解“微信群覆盖”》，通过以下四个步骤，实施了求解：

(1) 先初始化M个集合，用集合来表示微信群gid与用户uid的关系；

(2) 找到哪两个集合需要合并；

(3) 对有重复元素的集合，进行集合合并；

(4) 迭代步骤二和步骤三，遍历所有集合对，有相同元素的持续合并，直到算法结束；

但总的来说，暴力法效率非常低，《暴力法求解“微信群覆盖”》同时提出了几个优化方向，今天重点讨论第一个优化方向：能不能一次合并多个集合？

暴力法中，判断两个集合set<i>和set<j>是否需要合并，思路是：遍历set<i>中的所有element，看在set<j>中是否存在，如果存在，说明存在交集，则需要合并。

哪些集合能够一次性合并？

当某些集合中包含同一个元素时，可以一次性合并。

怎么一次性发现，哪些集合包含同一个元素，并合并去重呢？

回顾一下工作中的类似需求：

M个文件，每个文件包含N个用户名，或者N个手机号，如何合并去重？

最常见的玩法是：

cat file_1 file_2 … file_M | sort | uniq > result

这里的思路是什么？

(1) 把M*N个用户名/手机号输出；

(2) sort排序，排序之后相同的元素会相邻；

(3) uniq去重，相邻元素如果相同只保留一个；

“排序之后相同的元素会相邻”，就是一次性找出所有可合并集合的关键，这是染色法的核心。

举一个栗子：

假设有6个微信群，每个微信群有若干个用户：

s1={1,0,5} s2={3,1} s3={2,9}

s4={4,6} s5={4,7} s6={1,8}

假设使用树形set来表示集合。

首先，给同一个集合中的所有元素染上相同的颜色，表示来自同一个集合。

然后，对所有的元素进行排序，会发现：

• 相同的元素一定相邻，并且一定来自不同的集合

• 同一个颜色的元素被打散了

这些相邻且相同的元素，来自哪一个集合，这些集合就是需要合并的，如上图：

• 粉色的1来自集合s1，紫色的1来自集合s2，黄色的1来自集合s6，所以s1s2s6需要合并

• 蓝色的4来自集合s4，青色的4来自集合s5，所以s4s5需要合并

不用像暴力法遍历所有的集合对，而是一个排序动作，就能找到所有需要合并的集合。

画外音：暴力法一次处理2个集合，染色法一次可以合并N个集合。

集合合并的过程，可以想象为，相同相邻元素所在集合，染成第一个元素的颜色：

• 紫色和黄色，染成粉色

• 青色，染成蓝色

最终，剩余三种颜色，也就是三个集合：

s1={0,1,3,5,8}

s3={2,9}

s4={4,6,7}

神奇不神奇！！！

染色法有意思么？但仍有两个遗留问题：

(1) 粉色1，紫色1，黄色1，三个元素如何找到这三个元素所在的集合s1s2s6呢？

(2) s1s2s6三个集合如何快速合并？

画外音：假设总元素个数n=M*N，如果使用树形set，合并的复杂度为O(n*lg(n))，即O(M*N*lg(M*N))。

或许有朋友会问，怎么来排序？

《拜托，面试别再问我基数排序了！》

《拜托，面试别再问我计数排序了！》

《拜托，面试别再问我桶排序了！》

之前介绍了三种，时间复杂度是线性的排序算法。本例中，基数排序和桶排序都是非常不错的选择。

还是那句话，思路比结论更重要，进一步的优化，且听下回分解。

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