【论文02】隐蔽通信中的中继应用《Relaying via Cooperative Jamming in Covert Wireless Communications》

有感而发（胡说八道）：隐蔽通信或其他方向就是一个大坑（无贬义），几个大牛学者把论文当锄头，把这坑一点点挖大，挖完觉得差不多了，换一个位置继续挖。但前面的坑还在呀，于是后来人就前赴后继，争先恐后的在坑里站住一个位置，等填完了，上岸了，累了，也就这样了。
调侃几句哈哈，回到这篇论文。本文提到了中继（Relay），中继其实不算一个新概念，在无线通信中就被广泛应用，那么本文将中继引入到隐蔽通信中，结果是怎样的呢？一起来看看把。

论文题目： Relaying via Cooperative Jamming in Covert Wireless Communications
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0. 中继的一些知识

    根据定义，中继的接收端接收源节点发送的无线信号，经过一系列处理后再由中继发送端发送至目的节点，实质上相当于一个“无线收发器”，而中继通信技术，指的是在蜂窝移动网络部署中继节点，来协助基站和用户之间通信的一门技术，与基站本身相比，中继节点有功耗低、易部署、价格低等优点，在很多种不同的环境中应用中继通信技术会产生许多增益。

    中继具有多种协议，根据中继如何处理来自源节点的信号，大致可以分为放大转发（Amplify-and-Forward，AF）和解码转发（Decode-and-Forward ，DF）。本文使用的协议是放大转发协议，指的是使用 AF 协议的中继对来自源节点的发送信号进行量化并采用放大因子进行简单的放大，并且将量化后的信号转发至目的节点，这里的放大因子是和接收功率成反比的。相当于一个简单的模拟变换。

1. 系统模型

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  图1 具有中继的隐蔽通信系统模型图

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      这个模型中，Alice 是信息源，她想给 Bob 发送信息，但是无法直接接收（可能由于两者相距太远，信道强度弱）。中继实际上是一个双工器件，他接收到来自 Alice 的信息后，经过一个放大器直接再转发出去。如果 Alice 没有发送消息，那么中继转发放大的只有噪声，此时中继退化为一个干扰器（Jammer）。Willie 的功能没有变化，即通过接收到的信号功率，来判断 Alice 是否发送了消息。中继接收到的信息可以表示为

  $$y_r(i)=h_{ar}\sqrt{P_a}{x}_a(i)+n_r(i)$$

  经过转发放大后，中继发射的信号表示为

  $$x_r(i)=\sqrt{A_r}{y}_r(i)$$

  其中 $A_r$ 是中继放大系数。

      为了迷惑 Willie，本文假设中继的发射功率服从均匀分布（也有别的论文里假设 Alice 的发射功率服从均匀分布，原理都差不多），虽然 $P_r$ 的概率分布是所有用户都知道的，但是每一个间隙里的值对于 Willie 来说是未知的

  $$f_{P_r}(p)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{P_{\max }},& \text{ if }0\le p\le P_{\max }\\ 0,& \text{ otherwise }\end{array}$$

  那么 Willie 接收的到信号 $y_w(i)$ 服从以下分布
  $$\{\begin{array}{ll}\mathcal{C}\mathcal{N}\left(0,{\left|h_{rw}\right|}^2{P}_r+{\sigma }_w^2\right),& H_0\\ \mathcal{C}\mathcal{N}\left(0,{\left|h_{rw}\right|}^2{P}_r+{\left|h_{aw}\right|}^2{P}_a+{\sigma }_w^2\right),& H_1\end{array}$$

  2. 最优检测阈值

      类似的，根据 ${\mathbb{P}}_{FA}$ 和 ${\mathbb{P}}_{MD}$ 可以推导出最优阈值，可利用分段函数，把 ${\mathbb{P}}_{FA}$ 和 ${\mathbb{P}}_{MD}$ 的值罗列出来，详细可见原文。该阈值下的最小检测错误概率表示为

  $${\mathbb{P}}_E^{\ast }=1-\frac{|h_{aw}{|}^2{P}_a}{|h_{rw}{|}^2{P}_{max}}$$

  ${\mathbb{P}}_E^{\ast }$ 的值会被 $P_a$ 和 $P_{max}$ 共同影响，如果 $P_{max}\to \infty$，则 ${\mathbb{P}}_E^{\ast }\to 1$；如果 $P_a$ 的值很小，则 Willie 会很难检测到，但是这会很大程度上限制 Alice 到 Bob 的信息传输速率。因此 $P_a$ 的取值需要优化。

      ${\mathbb{P}}_E^{\ast }$ 中有两个随机变量 $h_{aw}$ 和 $h_{rw}$，计算其期望，得到 ${\bar{\mathbb{P}}}_E^{\ast }$，需要满足

  $${\bar{\mathbb{P}}}_E^{\ast }\ge 1-ϵ$$

  3. 中断概率

      首先考虑 Alice 到 Bob 的中断概率，即 ${\delta }_{ab}$

  $$\begin{array}{rl}{\delta }_{ab}=& \mathrm{P}\mathrm{r}[{\mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}}_b<2^{R_{ab}}-1]\\ =& \mathrm{P}\mathrm{r}[\frac{P_r{P}_a{\left|h_{ar}\right|}^2{\left|h_{rb}\right|}^2}{P_r{\left|h_{rb}\right|}^2+P_a{\left|h_{ar}\right|}^2+1}<2^{R_{ab}}-1]\\ =& 1-2{\Delta }_R\sqrt{B_1}{K}_1\left(2{\Delta }_R\sqrt{B_1}\right)\exp \left(-{\Delta }_R{C}_1\right)\end{array}$$

  其中

  $${\Delta }_R\triangleq 2^{R_{ab}}-1,B_1\triangleq \frac{{\lambda }_{ar}{\lambda }_{rb}}{P_a{P}_r},C_1\triangleq \frac{{\lambda }_{ar}}{P_a}+\frac{{\lambda }_{rb}}{P_r}$$

  有效的隐蔽速率可以表示为 $R_c=R_{ab}(1-{\delta }_{ab})$，如果想要最大化 $R_c$，则需要最小化 ${\delta }_{ab}$，注意到 ${\delta }_{ab}$ 是 $P_a$ 的单调递减函数，因此 $P_a$ 应该取最大值。同时 ${\bar{\mathbb{P}}}_E^{\ast }$ 是 $P_a$ 的单调递减函数，于是 ${\bar{\mathbb{P}}}_E^{\ast }=1-ϵ$ 的解就是 $P_a$ 的最优解。

  $$P_a^{\ast }=\frac{{\lambda }_{rw}{P}_{\max }{b}^{ϵ}}{{\lambda }_{aw}\left(1-b^{ϵ}\right)}.$$