从群论角度理解欧拉公式

欧拉公式是我认为最美的公式，没有之一。他将自然底数e、圆周率π、虚数单位i、自然数的起始1用等号联系在一起，仿佛解释了世上数与数的关系。

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前段时间我们讲解了的内涵，今天我们来讲的含义。

如果你稍微学过数学分析或者高等数学，想必你应该知道如下公式：

当你学习这个公式的时候，你是否想过这个公式背后有哪些不可告人的秘密呢？华罗庚曾经写过这么一首诗：

数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；

数无形时少直觉，形少数时难入微；

数形结合百般好，隔离分家万事休；

切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。

所以，公式是不可思议的咒语，我们找到他背后的“形”来解开他的秘密。

基础群论

群论是研究对称性本质的一个领域。

例如正方形是一个对称图形，什么意思呢？换句话说，你在正方形上施加哪些作用能使他和原来一样。例如：

将他旋转90°

以中轴为中心翻转

我们把每一个作用称为“正方形的对称性”，而所有的对称性的组成是一个“对称群”，简称为“群”。

同样，对于一个圆形来说，它以任意角度旋转都是对圆形的对称作用，这些作用落在 0到 2π 之间，这个我们称之为“旋转群”。这些作用的好处是，一个作用与圆上的一个点都是一一对应（也叫“映射”）的关系。

当然群论不只是研究一个对称集合是什么，群论的核心是了解对称性之间如何相互影响。例如：

在圆上，先逆时针旋转270°，再逆时针旋转120°，其效果等价于你直接逆时针旋转30°。

所以在圆的旋转群中，270°+120°=30°。

总的来说，群中存在某种运算使得作用A“加上”作用B等价于作用C。

加法群和乘法群

上面讲的东西都太过于陌生，我们来讲大家熟悉的东西——数。数包含了两个群：加法群和乘法群。

对于一条直线来说，对他进行左右滑动操作都能使他与原来重合，这个群也叫：直线的对称群。他像圆一样，每个作用和直线上的每个点形成映射关系。举个例子：

• 数字2，关联作用是数轴向右滑动2个单位长度。

• 同理，-2，关联作用是数轴向左滑动2个单位长度。

• 在实数中表达3+2=5，关联作用是数轴先向右滑动3个单位长度，再向右滑动2个单位长度，共滑动5个单位长度，这里不再作图演示。

在这个群里，每个滑动作用都和唯一的实数关联，所以这个群有个特殊的名字“实数加法群”，如果我们将这个结果扩展到复数域会怎么样呢？显然也是适用的，如：2+2i关联作用是复平面先向右滑动2个单位，再向上滑动2个单位。这个群，我们称之为“复数加法群”。

大家想想对于一条直线，还有其他作用使他与原来相同么？对的，压缩扩张，这个群又叫“压扩群”。同样，他也像“加法群”一样每个作用和直线上的每个点形成映射关系。举个例子：

• 假设原点不动，数字2的关联作用是数轴上的1点被扩张两倍。    

• 同理，假设原点不动，数字4的关联作用是数轴上的2点被扩张两倍。

• 当然对于数字4，假设原点不动，你也可以把他的关联作用看成是数轴上的1点被扩张四倍，这里不再作图展示。

在这个群里，每个压缩扩张作用都和唯一的实数关联，这个群同样有个特殊的名字“正实数乘法群”，如果我们将这个结果扩展到复数域会怎么样呢？例如2+2i，我们一起来尝试一下，同样，假设原点不动：

然后，进行缩放：

这次我们发现一个问题，无论我们怎么压扩，1点都无法离开实轴，所以，这个群不只有压缩扩张，还存在旋转。

我们注意到，假设原点不动，i关联的作用是将1旋转90°。所以与 i 对应的乘法为旋转90°。如果我进行两次旋转，即让平面旋转180°：

我们发现复平面上的任何一个点都可以通过先旋转，再缩放的形式求得，而这个群称为“复数乘法群”。举个例子：点2+i

你可以这么想：我们先旋转约26.59°：

然后再放大（根号5）倍：

数字，不管是实数还是复数，都可以看作两个不同方式的群，他们既可以通过滑动得到，此时，群运算看上去是普通的加法运算；也可以通过旋转和缩放得到，此时，群运算看上去是普通的乘法运算。

幂运算

还记得你第一次学习幂运算时，老师怎么解释的吗？

是两个2相乘。

是三个2相乘。

是两个2乘上三个2，共五个2。

不失一般性，对于正实数来讲：

但是，当数域被扩充，我们会遇到幂是-1，1/2，甚至是i。前两者，我们让他们满足刚刚的公式，例如：定义为，因为所以，这种定义叫做“保持群结构”，有时我们会叫他为“良定义”。用原有思考方式很难得到i为幂的定义，但我们这样思考：

假设，函数是映射关系，我输入x，他输出。比如，我输入2，他输出4。当我输入i的时候，他会映射到，这是一种我们没有见过的映射，根据以上启发，与i相关的运算可看成旋转。此时数学家想到，把虚轴映射成一个圆从而解决幂是虚数的问题。

将垂直滑动映射成旋转，即将直线上的复数，也就是i的倍数，映射到单位圆上的复数。记得实数上e的定义是什么吗？对的，单位时间的增长倍数。为“保持群结构”，把直线1单位增长映射到圆上1弧度增长，即：。同理，直线2单位增长映射到圆上2弧度增长，即：。直线π个增长映射到圆上π个弧度，即：，即走过半个圆，这就是数字-1：

前期解疑

Q：自然对数与指数函数的关系，写得最好的是柯朗和约翰《微积分和数学分析引论》第一卷第二章。

A：笔者也很喜欢柯朗的《微积分和数学分析引论》，我也推荐大家看柯朗的其他作品《什么是数学》《物理数学方法》等。

Q：pai是圆的周长和直径比

A：笔者手误，笔者能力有限，感谢大家指正！

Q：原来的一美元（蓝点），一美元所赚得的一美分（绿点），五十美分所赚得的25美分（红点），中第二句是不是错了，我觉得是：一美元所赚得50美分（绿点）。

A：笔者手误，感谢指正！应为：一美元所赚得的一美  元  （绿点），文章中所赚得的一美元是指最终赚的一美元，而非6月与12月的差。

Q：其中有个ln（4）你写成了ln（2）

A：笔者手误，感谢指正！

Q：坐等解释exp（复数）！！

A：满足你愿望了吗？

Q：我有一个问题，大家帮我想想，现在我把一元钱存银行，四年300%的利率，但是我存满两年就算取出来，请问我能取多少钱？

A：首先，我们讲的是复利，而非单利，如果300%为复利，那么直接用我们所提供的公式代入两年进行运算即可。

全文完。

我们是谁：MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
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