Activity driven modeling of time varying networks（时变网络的活动驱动建模 ）

1.网络建模是指利用计算机和数学方法对事物、现象或系统进行抽象和描述的过程。通过构建一系列的数学模型和相应的算法，来模拟和分析实际问题，以便更好地理解和预测其行为和性质。网络建模可以应用于各个领域，比如社交网络分析、物流网络优化、金融风险评估等。

2.在网络建模中，结构原则是指通过分析系统中的连接关系和组织结构，揭示出系统内部的统计规律和特定的结构性质。这些结构原则可以帮助我们理解系统的运行机制、发现系统中的重要节点和关键路径，并且可以为进一步的分析和预测提供依据。

连接驱动是一种建模方法，它强调系统中各个元素之间的连接和相互作用对系统行为的影响。连接驱动的建模方法会考虑节点之间的连接关系、连接强度和连接模式等因素，以及节点的属性和行为，从而构建出描述系统动态演化的数学模型。通过分析连接驱动的网络模型，我们可以研究系统的传播、扩散、同步等现象，揭示出系统内部的复杂关系和动态变化。连接驱动的建模方法常用于研究社交网络、生物网络、交通网络等复杂系统。

3.摘要：

        网络建模在识别许多系统共有的统计规律和结构原则方面起着关键作用。最近的大部分建模方法都是连接驱动的。网络的结构模式是支配网络形成机制的基础。

        连接驱动的模型必须提供时间聚合的表示，但可能无法描述许多网络的瞬时和波动动态。我们通过定义活动电位来解决这一挑战，这是一个表征代理交互的时不变函数，并构建了一个能够编码网络动态的瞬时时间描述的活动驱动模型。该模型提供了结构特征的解释，如枢纽的存在，这只是源于代理的异质活动。在这个框架内，高度动态的网络可以被分析地描述，允许对动态过程分析中由时间聚合表示引起的偏差进行定量讨论。

     （备注：连接驱动的模型必须提供时间聚合的表示，意味着该模型需要将网络的动态演化进行时间聚合，以便得到一个在离散时间步骤上描述网络连接模式的表示。这种表示通常是基于一定时间窗口内的观察数据，将网络的连接和交互行为汇总为一个静态的网络结构或连接矩阵。

       在时间聚合的表示中，网络中的连接信息在一段时间内被整合起来，不再考虑交互的具体时间顺序和时刻。这样做的目的是为了简化网络分析和建模过程，并允许使用传统的静态网络理论和算法进行解析和计算。

       然而，连接驱动的模型认识到，网络的连接模式和动力过程之间的耦合关系在实际中可能涉及到细微的时间变化和时序依赖性。为了更准确地描述网络和传播过程的演化，这种模型不仅需要使用时间聚合的表示来简化问题，还需要考虑节点的活动率和交互的动态性，以更真实地反映网络的时序特征。

       因此，与之相比，基于活动驱动的模型可以更准确地考虑网络连接模式和传播过程的时间相关性和动态性，并且不依赖于时间聚合的表示。）

4.连通性驱动（Connectivity-driven）指的是网络模型中，网络的拓扑结构对模型算法的定义和演化起到关键作用。换句话说，网络的连接关系和节点之间的相互作用是模型的核心驱动力。

拓扑结构（Topology）指的是网络中节点之间的连接方式和排列形式。它描述了网络的几何形状、节点之间的连接关系以及网络的整体结构特征。拓扑结构可以包括节点的度分布（节点的连接数量）、节点之间的距离关系、网络的聚集程度等信息。在网络建模中，拓扑结构的分析和研究可以帮助我们理解网络的性质、预测网络的行为，并揭示出网络中的重要节点和关键路径。

5.第一段

        网络建模一直借鉴了社会网络分析和图论的传统，模型范围从Erdo¨s-Re´nyi模型到Logit模型、p*模型和马尔可夫随机图等。在过去的十年中，以优先附着模型为代表的增长网络模型已经在统计物理学和计算机科学的研究中广为流行。所有这些模型都可以被定义为连接驱动模型，因为网络的拓扑结构在算法的定义中起着核心作用。连接驱动的网络模型非常适合捕捉像互联网这样节点之间的连接具有长期效应的系统的基本特征。

       然而，在许多情况下，系统元素之间的相互作用会迅速变化，并且其时间和持续时间的定义是在非常短的时间尺度上。这个极限情况已经在结构与其上所发生过程耦合的自适应系统的情况下进行了研究。

       但相反的是，在结构独立于过程演化的时变网络中，对这个极限的理解仍然有限且未被探索。在这些活动驱动的网络中，旨在捕捉随时间积累连接的过程以及因此产生的度分布（即节点与其他节点之间连接的概率）和其他拓扑属性的模型，只是表征了系统的时间积分视角。

        此外，在演化网络中分析动态过程通常是在网络演化和动态过程展开的时间尺度分离的情况下进行的。在一种极限情况下，我们可以将网络视为在其连接模式上是凝固的，因此在时间尺度上的演化远比动力过程本身长得多。在另一种极限情况下，网络的演化时间尺度要比动力过程短得多，因此在个体之间相互作用的定义中有效地消失，取而代之的是有效的随机耦合。虽然时间尺度分离对于模型的数值和分析可行性非常方便，但网络通常以可能与动态过程的时间尺度相当的时间尺度演化。

       准确地对活动驱动网络的动力学建模需要基于对构成系统的代理活动的实际测量来定义相互作用过程，这个任务现在由时间分辨率高、质量好的数据，可以获得关于各种网络中数百万代理瞬时活动的数据的可用性使之成为可能。

（备注：在结构与过程演化独立的时变网络中，人们对于这种极限情况的理解仍然有限且未被深入研究。在许多传统的网络研究中，结构和过程的演化被认为是相互依存的，即网络的结构变化会影响网络上的动态过程，而动态过程的发展也会影响网络结构的演化。然而，在一些特殊情况下，网络的结构和动态过程可以被假设为是彼此独立的，即网络的结构演化与网络上的动态过程没有相互作用。然而，对于这种结构独立于过程演化的时变网络，我们对于其极限情况的理解仍然存在限制，并且还未被广泛深入地探索。这意味着我们尚未完全了解在这种情况下网络的极限性质、特征和行为。进一步的研究和探索将有助于深入理解结构与过程独立的时变网络的复杂性和动态行为）

6.结果

        这里我们呈现了对三个大规模、时间分辨网络数据集的分析，并为每个节点定义了一个可测量的量，即活动潜力，用于描述其在网络内的交互模式。

      （ 备注：时间分辨网络数据集是指包含了时间信息的网络数据集。通常，这种数据集可以提供每个节点在不同时间点上的状态、属性或交互模式。通过这种数据集，我们可以分析网络随时间变化的动态特征，并研究节点之间的演化过程和相互作用模式。）

        这一度量定义为每个节点在给定时间窗口内执行的交互次数除以同一时间窗口内所有节点的总交互次数。我们发现，网络的系统级动态可以通过活动潜力分布函数进行编码，从中可以推导出节点之间的适当交互率。基于经验测得的活动潜力分布，我们提出了一个用于生成随机动态网络的过程模型。活动潜力函数定义了网络在时间上的结构，并将网络元素的异质活动追溯到中心的起源。该模型允许编写耦合网络动态和在其结构上展开的动态过程的动力学方程，而不依赖于任何时间尺度分离近似。我们分析了一个简单的传播过程，并为时间聚合表示网络时引入的偏差提供了明确的分析表达式，这些偏差发生在研究与网络演化时间尺度相当的动态过程时。有趣的是，此处介绍的网络模型适合于在节点的动态中引入许多特征，例如特定交互的持久性或同配/异配相关性，从而定义了一个针对快速演化网络的通用基础建模框架。

       （备注：网络的系统级动态是指整个网络在一定时间窗口内的演化和变化。具体来说，它涉及到网络中节点之间的交互、连接的形成和解除、信息传播的流动等。网络的系统级动态可以通过各种度量和分布函数进行编码和描述，以了解网络的结构和行为。

       （备注：生成随机动态网络的过程模型是指一种用于构建和模拟具有动态行为的网络系统的数学模型。它可以基于一定的规则和概率来描述网络中节点间的交互行为和演化过程。这个模型可以通过活动潜力分布函数来定义网络的结构，并考虑网络元素的异质活动。）

       （备注：异质活动是指在网络中存在不同节点之间活动模式的差异性。这种差异性可能包括节点的运作频率、交互行为、资源利用方式等方面的变化。在异质活动网络中，不同节点之间的活动特征可以是多样化的，即节点们在其活动行为或活动强度上呈现出个体差异性。这种异质性对于理解网络结构和动态过程的演化具有重要意义，因为它能够对网络的拓扑结构和功能产生显著的影响。）

          活动潜力。我们考虑了三个数据集，对应于我们可以测量个体代理人活动的网络：美国物理学会发表的《Physical Review Letters》（PRL）杂志上的合作、在Twitter微博网络上交换的消息以及在互联网电影数据库（IMDb）中记录的电影和电视系列中演员的活动。在第一个数据集中，如果两个PRL作者在写一篇文章时合作，网络表示会考虑连接这两个作者的无向链接。在第二个系统中，每个节点都是一个Twitter用户，如果两个用户之间至少交换了一条消息，则绘制一条无向链接。最后，演员网络是通过在任意参与同一部电影或电视系列的两位演员之间绘制一条无向链接来获得的。

       （备注：个体代理人活动是指在特定网络中，个体的行为、互动或参与的程度。在这个上下文中，个体代理人可以是科学家在写作研究论文时的合作伙伴关系、Twitter用户之间的消息交流，或者电影和电视剧中演员的参与关系。个体代理人活动的测量可以帮助我们理解网络中的信息传播、合作程度以及社会互动的特征。该概念在研究网络结构和网络动态过程中具有重要意义。）

          在科学作者的合作网络中，个体代理人活动在网络分析和建模中的作用可以很容易地观察到。任何一位作者的合作次数取决于我们观察系统的时间窗口。在图1中，我们展示了在1年、10年和30年时间段内通过时间聚合的合著关系得到的网络，涉及PRL数据集中在考虑的时间段内活跃的作者子集。显然，用于构建网络的时间尺度定义了一个非平稳的连通性模式，并明确影响了网络结构及其度分布。在补充信息中也展示了对于其他两个数据集相似的结果。

          该段文字提到了在科学作者的合作网络中观察到了个体代理人活动对网络结构和连接模式的影响。不同时间窗口下的合作次数不同，导致网络结构的变化。类似的结果在其他两个数据集中也得到了展示。

 图1：在PRL数据集上，我们考虑了三个不同的集成视图来进行网络可视化和度分布分析。具体而言，前两行我们着重关注在1960年至1974年期间至少撰写过一篇论文的作者集合。针对这个包含5,162位活跃作者的子集，我们构建了三个不同的网络，如图中间行所示。上面一行展示了一个特定网络区域的放大视角。左列显示了1974年的网络，即给定时间范围内的活跃节点构成的网络。中间列展示了从1974年到1984年累加的10年之间的网络。右列展示了从1974年到2004年累加的30年之间的网络。从可视化中可以看出，第一个网络非常分散。当时间窗口增大时，网络的密度增加，出现了异质连接模式。显然，正如度分布所示，考虑完整的作者集合（而不只是用于可视化的前两行），构建网络所使用的时间尺度会影响其拓扑结构。 在每个可视化中，节点的大小和颜色与其度数成比例。

          (备注：涉及PRL数据集中在考虑的时间段内活跃的作者子集是指在研究中针对PRL数据集中的作者进行了时间限制，只选择了在特定的时间段内活跃的作者作为研究对象。具体来说，在这个特定的时间段内，只有那些参与合作并发表了文章的作者被纳入到这个活跃的作者子集中。这样做是为了限制研究范围和关注特定时间段内的合作网络模式。通过选取活跃作者子集，研究人员可以更好地理解网络的结构和动态变化，并观察个体代理人活动对网络的影响。)

         在考虑的三个数据集中，我们对每个代理的个体活动进行了描述：撰写的论文、交换的信息或参演的电影。对于每个数据集，我们测量了每个代理的个体活动，并将代理i的活动潜力xi定义为他/她在一段长度为Dt的特定时间窗口内执行的交互次数除以所有代理在同一时间窗口内进行的总交互次数。因此，活动潜力xi估计了代理i参与系统中任何给定交互的概率，而随机选择的代理i具有活动潜力x的概率分布F(x)统计上定义了系统的交互动态。在图2中，我们展示了对这三个数据集评估的累积分布函数Fc(x)。在所有情况下，我们发现与网络的度分布和其他结构特征相反，分布函数Fc(x)几乎不依赖于测量活动潜力的时间尺度。此外，我们发现分布函数Fc(x)是倾斜的且相当广泛分布的。这并不令人惊讶，因为许多情况下对人类活动的测量证实不同个体之间存在广泛的变异性。

图2：在使用四个不同的时间窗口进行实证测量时，活动潜力的累积分布函数FC(x)的结果，并且绘制了所提出的网络模型的示意图。具体而言，在面板（A）中显示了Twitter的可观察变量x的累积分布，面板（B）显示了IMDb的累积分布，面板（C）显示了PRL的累积分布。在面板（D）中，我们展示了模型的示意图。考虑只有13个节点和m=3个节点的情况下，我们绘制了在3个不同的时间步长下产生的网络的可视化。红色节点代表触发/活跃节点。最后一个可视化表示经过所有时间步长整合后的网络。

        活动驱动的网络模型。我们的实证分析自然地导致了一个简单的模型的定义，该模型利用活动分布来驱动动态网络的形成。我们考虑N个节点（代理），并为每个节点i分配一个活动/触发率ai= gxi，其中g是重新缩放因子，使得系统中单位时间内的活跃节点数的平均值为g乘以N。活动率被定义为xi在区间[-1,1]之间，并根据给定的概率分布F(x)进行分配，这个分布可以任意选择或由经验数据给出。我们规定x的下限，以避免F(x)在接近原点处可能发散。我们假设一个简单的生成过程，根据以下规则进行操作（见图2-D）:

    （备注：该模型通过使用活动分布来驱动动态网络的形成。具体而言，每个节点（代理）被赋予一个活动率，这个活动率是由其对应的活动潜力通过一个函数关系确定的。活动潜力代表了节点在单位时间内与其他个体建立新联系或进行交互的概率。节点的活动率决定了其在网络中的活跃程度和与其他节点的连接程度。根据活动率的大小，节点可能会与其他节点建立更多的联系或进行更频繁的交互。

      通过使用活动分布来驱动网络的形成，我们可以模拟真实世界中的行为和社交模式。活动分布通常基于已有的观测数据或经验数据，可以反映不同个体的活跃程度和行为特征。通过将活动分布用于节点的活动率，我们可以生成具有不同节点活跃性和连接模式的网络结构，并模拟网络随时间的演化过程。这样的模型提供了一种方法来理解和研究复杂网络系统中的动态行为和结构形成机制。）

       上述模型是随机且马尔可夫的，代理没有记忆之前的时间步骤。网络的完整动态和随后的结构完全编码在活动潜力分布F(x)中。

       在图3中，我们报告了一个具有N = 5000、m = 2、g = 10和F(x) / x^2c的数值模拟结果，其中c = 2.8，并约为10^(-3)。该模型恢复了图1中观察到的相同的定性行为。每个时间步骤中的网络都是一个具有低平均连接度的简单随机图。我们通过在不断增大的时间片段T上测量活动来观察到连接的积累，从而生成了一个偏态的度分布PT(k)，具有广泛的变异性。异质性和枢纽（具有大量连接的节点）的存在是由于系统中活动率的广泛变化和相关的高活跃代理。然而，值得注意的是，枢纽的形成与诸如优先依附等增长网络规则有着不同的解释。在这些情况下，枢纽是通过在度空间中的位置优势而 passively 吸引更多的连接而形成的。在我们的模型中，枢纽的创建是由于存在高活动率的节点，在重复参与交互方面更愿意。

     （备注：马尔可夫通常指的是马尔可夫性质，它是指一个随机过程在给定当前状态下，其未来发展只与当前状态有关，而与过去的状态无关。换句话说，一个具有马尔可夫性质的过程的未来状态只取决于当前状态，而不受过去历史状态的影响。

        在上述模型中，我们说这个模型是马尔可夫的，意味着在每个时间步骤中，代理节点在做出决策时只考虑当前时间步的信息，而不考虑之前时间步的信息。这意味着代理节点没有记忆，其行为和决策仅基于当前的活动潜力分布和网络状态。因此，模型中的演化过程满足马尔可夫性质。）

     （备注：每个时间步中的网络被描述为一个具有低平均连接度的简单随机图意味着在每个时间步中，网络中的节点之间的连接是以随机方式形成的，并且节点之间的平均连接数量相对较少。简单随机图是指没有特定的模式或结构限制，连接在节点之间产生的概率是相等且独立的。这意味着网络中的连接形成是基于概率，并且没有明确的偏好或趋势使得某些节点具有更多的连接。

由于每个时间步中网络的连接是随机生成的，因此网络的拓扑结构在时间上会发生变化，没有固定的模式或长期的稳态结构。这样的网络具有较低的平均连接度，即节点之间的平均连接数量相对较少。这意味着在每个时间步中，节点之间的联系通常是稀疏的，并且节点的整体连接程度相对较低。）

    （备注：生成一个偏态的度分布PT(k)意味着网络中节点的度（即与节点相连的边的数量）分布不均衡，即存在一些节点拥有较高的度数，而大多数节点的度数较低。偏态的度分布可以呈现出长尾或正偏（右偏）的形状，意味着存在一些节点具有极高的度数，这些节点被称为“枢纽”或“中心节点”，而大多数节点的度数较低。

       在这种偏态的度分布中，一小部分的枢纽节点拥有大量的连接，而大多数节点只有少数连接或接近零的连接。这种不均衡的分布可能是由于节点的活动率和网络连接方式导致的。具有较高活动率的节点更有可能与其他节点建立多个连接，从而增加了它们的度数。而其他节点由于活动率较低，与其他节点产生的连接较少。

        总之，偏态的度分布表明在网络中存在少数高度连接的节点（枢纽），其度数远远超过大多数节点的度数。这种分布模式常见于许多复杂网络，如社交网络、互联网和蛋白质相互作用网络等。）

图3：通过考虑不同的整合视图，我们绘制了所提出的网络模型的可视化和度分布。我们固定N=5000、m=2、g=10、F(x)/x^2c，其中c=2.8，以及-1<=x<=1，总计10^23个数据点。我们在第一列绘制了经过一个时间步骤后得到的网络，第二列是经过10次迭代整合后得到的网络，最后一列是经过20次迭代整合后得到的网络。有趣的是，尽管该模型是随机的和马尔可夫的，但我们观察到与PRL情况定性相似的行为：单个时间窗口生成稀疏且连接较差的网络，度分布非常平凡。当考虑更长的时间尺度时，异质性连接模式开始出现，可以通过相应的度分布看到。在每个可视化中，节点的大小和颜色与其度数成比例。

    （备注：在这个上下文中，视图指的是以可视化方式呈现出来的数据或信息。它是对数据进行可视化处理后所得到的图形或图表，使我们能够更直观地理解和分析数据。

      不同的整合视图意味着在可视化网络模型时，我们可以选择将多个时间步骤的网络状态进行整合并呈现出来。具体而言，在这个上下文中，作者提到了使用不同的整合视图：一个时间步骤的网络、经过10次迭代整合后的网络和经过20次迭代整合后的网络。

      每个时间步骤的网络是指仅考虑了一个时间步骤后节点间的连接关系形成的网络。这个网络通常是稀疏且连接较差的，节点的度分布可能相对平凡。

      经过10次迭代整合后的网络是指将连续的10个时间步骤的网络状态整合在一起，考虑了更长的时间尺度。这种整合可以显示出连接模式的演化趋势，并可能观察到一些异质性的连接模式。对应的度分布可能会显示出一些不均衡的特征。

      最后，经过20次迭代整合后的网络是将更长的时间序列的网络状态整合在一起，得到更长的时间尺度上的网络模型。通过这种整合，我们可以更加清晰地观察到网络结构的变化和复杂性，以及更显著的度分布的异质性。

       总之，不同的整合视图提供了不同时间尺度上的网络结构和度分布的信息，帮助我们了解网络模型随时间演化时的变化趋势和性质。）

      (备注：度分布（degree distribution）是指在一个网络模型或图中，各个节点的度数（即与节点相连的边的数量）的分布情况。简而言之，度分布描述了网络中不同节点的度数的概率分布。

       在一个网络中，节点的度数可以代表节点的重要性、连接程度或影响力。度分布反映了节点度数的统计特征，可以帮助我们理解网络的拓扑结构和性质。

      一般来说，度分布可以用概率质量函数、频率直方图或累积分布函数等方式进行表示。常见的度分布形态包括均匀分布、幂律分布、高斯分布等。不同类型的度分布反映了网络中节点度数的不同分布特征。

       通过分析度分布，我们可以获得关于网络性质的重要信息。例如，高度偏斜的度分布（幂律分布）可能意味着网络中存在少数集中连接的"枢纽节点"，这将影响信息传播、网络强度和稳定性等方面的特性。

       因此，度分布是研究网络结构和性质的重要工具，可以帮助我们理解节点间连接的模式、网络的复杂性以及网络功能的运作方式。)

       该模型允许进行简单的分析处理。我们定义整合网络 为在每个先前时间步骤中获得的所有网络的并集。每个时间点生成的瞬时网络将由一组略微相互连接的节点组成，这些节点对应于在那个特定时间点处于活动状态的代理，以及那些从活跃代理那里收到连接的节点。每个活动节点将创建m个链接，单位时间内的总边数为，从而得到单位时间内的平均度和网络的接触率。

        瞬时网络将由一组星形结构组成，即在该时间步骤处于活动状态且度数大于或等于m的顶点，以及一些度较低的顶点。相反，对应的整合网络通常不会是稀疏的，它是前几个时间步骤中所有瞬时网络的并集（参见图3）。事实上，对于大的时间T和网络规模N，在整合网络中可将度近似为连续变量，我们可以证明（请参阅补充信息），在时间T时代理i在整合网络中的度数为，由此可以很容易地得到，在时间T时刻，综合网络的度分布PT(k)为:

         在上述情况下，我们考虑了k/N和k/T趋于零的极限（即大网络规模和时间）。这里值得注意的结果是整合网络的度分布与个体活动的分布之间的关系，根据前面的方程，它们共享相同的函数形式。这种关系在实证数据中得到了近似恢复，其中活动潜力分布与相应网络的适当缩放的渐近度分布在合理的一致性（见图4-A）。正如预期的那样，两个分布之间存在差异，这是由于真实网络动态的特征，而我们的随机模型无法捕捉到：连接可能具有记忆效应（已经建立的连接更容易再次发生），社会关系具有寿命分布（持续性），以及多重连接和加权连接可能是有关的。这些效应都没有在模型中考虑。我们在补充信息中对这些特征进行了一些统计分析，将其作为未来扩展模型时需要考虑的进一步因素。

（备注:当我们考虑网络规模N和时间T趋于无穷大时，我们可以将k/N和k/T趋近于零。这意味着在大型网络和长时间尺度上，我们可以近似地将节点的度和连接率视为连续变量。在这种情况下，我们可以推导出整合网络中的节点度分布与个体活动的分布之间的关系。这个极限情况的概念是为了研究网络在更大和更长的时间尺度上的行为，并对整合网络的特性进行分析。）

       让我们考虑一下易感-感染-易感（SIS）流行病分区模型。在这个模型中，感染者有可能以概率l传播疾病给健康的邻居，而感染者以速率m康复并再次变为易感者。在一个均匀的人群中，流行病的行为由生殖数R0=b/m控制，其中b=l*<k>节点的度k是每个个体接触率,考虑到每个个体接触率的人均传播率。生殖数指的是在完全易感人群中，每个初级病例产生的二次病例的平均数量，并定义了流行病阈值，只有当R0>1时，流行病才能达到流行状态并传播到封闭的人群中。最近几年，将复杂的连接性网络和移动方案纳入传播过程（传染、扩散、转移等）的基础中，已经突显出新的有趣结果。一些结果表明，流行病阈值取决于网络的拓扑特性。特别是，对于由固定、淬灭的拓扑特性的网络，阈值由邻接矩阵的主特征值给出.相反，对于具有平均定义拓扑的退火网络，由于连通性图案与动态过程相比，具有极快的动态特性，异质场均场方法预测流行病阈值与网络度分布的二阶矩成反比：b/m =k/ k2。
        然而，这些结果不适用于连接模式的时间变化与动力过程发生在同一时间尺度的情况。我们的模型提供了这个问题的简单证据，因为具有较小m21（传染期的特征时间）值的疾病将有时间来探索完全整合的网络，但不会在动态瞬时网络上传播，这两者的并集定义了整合网络。在图4-B中，我们绘制了根据我们的模型生成的网络上SIS模型的数值模拟结果和两个时间聚合网络实例。我们观察到，这两个聚合网络在阈值和流行病的规模与b/m的关系方面都导致了误导性的结果。即使流行病阈值通过因子b=l*节点的平均度修正了不同的平均度，这两个聚合实例仍然将所有边缘视为始终可用于传播过程，而忽略了边缘可能根据特定的代理活动时间序列而激活或不激活的事实。

       (备注：流行病阈值指的是一种衡量流行病传播能力的指标。它代表着在一个完全易感的人群中，每个感染个体平均能够传染给多少个新的感染个体。如果流行病阈值小于1，那么流行病将无法在人群中持续传播，最终会衰减。而如果流行病阈值大于1，那么流行病将以指数级增长，可能导致疫情爆发。流行病阈值的计算通常考虑到了传播率、康复率以及人群的接触模式等因素。这个概念为流行病学研究和防控提供了重要的理论依据。)

     （备注：网络的拓扑属性指的是描述网络结构和连接方式的特性。它们包括了网络中节点之间的连接模式、度分布、聚集性、同配性等相关属性。具体来说，网络的拓扑属性可以包括以下几个方面：1. 节点度（Degree）：指节点与其他节点直接连接的数量。
           2. 度分布（Degree distribution）：描述不同度数的节点在整个网络中的分布情况。
           3. 聚集系数（Clustering coefficient）：衡量节点邻居之间形成三角关系的概率，反映了网络中群聚现象的程度。
           4. 平均最短路径长度（Average shortest path length）：表示网络中任意两个节点之间的平均最短路径长度，反映了信息传播的效率。
           5. 同配性（Assortativity）：衡量节点倾向于与相似或不同度数的节点进行连接的程度，可以描述网络的结构特征和节点间的偏好。
           6. 社区结构（Community structure）：指网络中紧密关联的节点群组，通常通过模块度等指标来判断。
           7. 中心性（Centrality）：用于衡量节点的重要性或影响力，如度中心性、介数中心性、接近中心性等。

           这些拓扑属性可以帮助我们理解网络的结构、功能和动态行为，对于研究网络的特性、信息传播、动力学过程等具有重要意义。）

    （备注：前述的网络拓扑属性和结果适用于网络连接模式与动力过程的时间变化发生在不同时间尺度的情况下。具体来说，在许多研究中，网络的结构通常被认为是固定不变的，并且在网络动力过程（如信息传播、疾病传播等）发生时，网络结构保持不变。

       然而，当网络连接模式的时间变化与动力过程发生在相同的时间尺度上时，这些传统的网络拓扑属性的结果可能不再适用。这是因为网络的连接性图案是在动力过程中根据代理活动的时间序列进行变化的，网络的拓扑结构也随之改变。

        因此，对于这种情况，我们需要考虑网络拓扑的动态性和时变性，以了解网络中动态瞬时网络和整合网络之间的关系，并更好地理解动力过程在这样的网络上的行为。传统的静态网络分析方法可能需要被更新或改进，以适应动态网络的特征和行为。）

       上述发现可以通过在不依赖于网络连接的任何时间聚合视图的情况下，通过计算在活动驱动网络中的流行病阈值来更准确地量化。通过使用活动率，我们可以推导出流行病演化方程，在这个方程中，传播过程和网络动力学是相互耦合的。假设节点的活动潜力x的分布由一个通用分布F(x)给出。在均场水平上，流行病过程将以活动速率为a的感染个体的数量来描述，即时间t时刻处于活动率类别a的感染个体数目为It（a）。给定时间t+1时刻，活动率为a的感染个体数目用Dt表示：

       其中Na是具有活动率a的个体总数。在公式（3）中，右侧第三项考虑了一个活动类别为a的易感者被感染的概率，即从任何其他感染个体（对所有不同的类别求和）获得连接，而最后一项考虑了一个易感者获得连接的概率，这与他的活动无关，只要来自任何感染的活动个体即可。可以像材料和方法部分所示的那样解决上述方程，得到了活动驱动模型的以下流行病阈值：

       这个结果考虑了每个参与者的活动率，因此考虑了实际交互的动态性；上述公式不依赖于时间聚合的网络表示，并将流行病阈值作为节点间的相互作用速率的函数给出。这使得我们可以在网络和传播过程演化的自然时间尺度上对传播条件进行描述。

讨论：
       我们提出了一个动态网络模型，将连接模式编码为一个单一函数，即活动潜力分布，可以在有纵向数据的真实世界网络中进行经验测量。这个函数允许基于节点的活动率定义一个简单的动态过程，提供了网络连接模式的时变描述。尽管模型简单，但可以用于解析地解决网络和传染过程的共同演化，并定量地表征时间尺度分离技术引起的偏差。此外，所提出的模型似乎适用于讨论网络动态对其他过程（如损害韧性、发现和数据挖掘、集体行为和同步）的影响。虽然为了减少模型的复杂性，我们降低了现有模型的逼真程度，但我们意识到分析参与者活动的其他特征（如并发性、持续性和与每个连接相关联的权重）的重要性。为了消除本文中生成的简单随机网络结构设定的限制，必须将这些特征添加到模型中，并对今后在该领域的工作提出有趣的挑战。