朱刘算法（Directed Minimum Spanning Tree/Directed MST/Minimum Arborescence/Optimum Branchings）

概念

最小树形图：有向图所分离出的有向生成树,亦称为最小树形图，其应满足以下条件：
1. 恰好有一个入度为0的点，称为根结点
2. 其他结点的入度均为1
3. 可以从根结点到达其他结点

既然要找最小生成树，当然就是找权重越小的边越好。每一个点（除了根以外）各自找到权重最小的入边之后，有可能就刚好是一棵最小生成树了，但是也有可能形成几只“水母”。

由于每个点都仅有一条入边，如果形成环，环上一定只有出边，不会有入边。每个点都仅有一条入边，除了刚好形成一棵树以外，要不就是形成水母 —— 一只环再加上环上的点各是一棵树的树根，或者说是很多棵树的树根用环串起。

水母与最小树形图

最小生成树不能有环，所以水母是不合格的，然而水母是权重最小的连接方式。若有一棵恰当的最小生成树，其权重会略高于水母。由水母向最小生成树靠拢，可能有以下两种情况：

1. 改变水母环上的边，让水母变成一棵树，尽管整体权重稍微变大，但仍可接受。
2. 改变水母触手上的边，并没有比较好。不但让整体权重变大，而且水母环仍存在，并没有解决掉不合格的问题。

由此可得出结论：

只需要尝试打开水母环上的边就行了。打开环的时候，要同时考虑新加入的边的权重和取消的边的权重。选择差值最小者，可让权值增加最小。进入水母的环全部看一遍后，就能选出差值最小者。

朱刘算法（Chu-Liu/Edmonds Algorithm）

算法思想

根据Kruskal’s Algorithm提到的最小生成树相连性质，可以知道连接多只水母，就和连接多棵最小生成树的道理是一样的，以权重小的边來连接是最好的。唯一不同的是，Kruskal’s Algorithm一旦发现造成环的边，就直接舍弃；Chu-Liu/Edmonds Algorithm则是留下造成环的边（形成水母），并且尝试各种打开环的方式。

该算法设计思想巧妙，也较难理解。 Sasuke_SCUT 的blog讲原理解释得较清楚，特摘录如下：

判断是否存在树形图的方法很简单，只需要以v为根作一次图的遍历就可以了，所以下面的 算法中不再考虑树形图不存在的情况。
在所有操作开始之前，我们需要把图中所有的自环全都清除。很明显，自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进行了这步操作，总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。
首先为除根之外的每个点选定一条入边，这条入边一定要是所有入边中最小的。现在所有的最小入边都选择出来了，如果这个入边集不存在有向环的话，我们可以证明这个集合就是该图的最小树形图。这个证明并不是很难。如果存在有向环的话，我们就要将这个有向环所称一个人工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中连接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。为什么入边的权要减去in[u]，这个后面会解释，在这里先给出算法的步骤。然后可以证明，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。
上面结论也不做证明了。现在依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w’(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。
如果实现得很聪明的话，可以达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，然后最多会收缩几次呢？由于我们一开始已经拿掉了所有的自环，我门可以知道每个环至少包含2个点，收缩成1个点之后，总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不不用求了。所以我们最 多只会进行V-1次的收缩，所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见，如果一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。

算法步骤

1. 找到除了root以为外其他点的权值最小的入边。用In[i]记录 ；
2. 如果出现除了root以为存在其他孤立的点，则不存在最小树形图。；
3. 找到图中所有的环，并对环进行缩点，重新编号。；
4. 更新其他点到环上的点的距离 ；
5. 重复3，4直到没有环为止。

Codes

// 摘自：http://blog.csdn.net/ditian1027/article/details/21958821#include <iostream>
#include <math.h>
#include <cstdio>
using namespace std;#define N 105
#define INFINITE 999999999
#define MYTYPE doublestruct _point
{int x;int y;
} point[N];struct _edge
{int from;int to;MYTYPE cost;
} edge[N*N];MYTYPE inw[N];  //最小入边
int vis[N]; //是否被访问 
int id[N];  //由当前图到重构图的映射 
int pre[N]; //前驱顶点MYTYPE Directed_MST(int root, int NV, int NE)
{MYTYPE ret=0;while (1)   //开始迭代过程 {//1.确定最小入边集 for(int i=0; i<NV; ++i) inw[i]=INFINITE;for (int i=0; i<NE; ++i){int from=edge[i].from;int to=edge[i].to;if (edge[i].cost<inw[to] && from!=to)   //from!=to忽略自环{inw[to]=edge[i].cost;pre[to]=from;}}//检查是否有不可达点for (int i=0; i<NV; ++i){if(i==root) continue;   //除根之外if(inw[i]==INFINITE) return -1; //有不可达顶点，不可能生成最小树形图，退出}//2.找环for (int i=0; i<NV; ++i){vis[i]=-1;id[i]=-1;}int newidx=0;inw[root]=0;for (int i=0; i<NV; ++i)    //有两个作用：计算最小入边集的权值和；检查是否有环，如果有，重新对点进行编号{ret+=inw[i];int v=i;while (vis[v]!=i && id[v]==-1 && v!=root)   //由v回溯。能回到根，即最后v==root，那么肯定不在环里；回不到根，v!=root，v有可能在环里，也有可能不在（回溯到一个环然后出不去了，同样也到不了根）。//若v在环里，则环上所有点的id[]值会被重新标号，不再是-1；若是后一种情况，它前驱的环上的点的id[]已被修改为非-1，不能通过“id[v]==-1”这个条件的检查。{vis[v]=i;v=pre[v];}if (v!=root && id[v]==-1)   //两个条件保证了：1.在环上2.这环没被处理过{//下面把环上所有的点的标号设置为同一个  for (int u=pre[v]; u!=v; u=pre[u]){id[u]=newidx;}id[v]=newidx;++newidx;}}if(newidx==0)   break;  //无环，ret就是答案，跳出迭代for (int i=0; i<NV; ++i){if(id[i]==-1) id[i]=newidx++;   //给环外的点继续编号}//3.重新构图，准备下一次迭代for (int i=0; i<NE; ++i){int to=edge[i].to;edge[i].from=id[edge[i].from];edge[i].to=id[edge[i].to];if(edge[i].from != edge[i].to){edge[i].cost -= inw[to];    //算法的关键}}//为下一轮迭代赋初值NV=newidx;root=id[root];}return ret;
}MYTYPE calcdist(int point_a, int point_b)
{MYTYPE delta_x=(MYTYPE)(point[point_a].x - point[point_b].x);MYTYPE delta_y=(MYTYPE)(point[point_a].y - point[point_b].y);return sqrt(delta_x*delta_x + delta_y*delta_y);
}int main()
{int n, m, x, y, from, to;MYTYPE ans;while (scanf("%d", &n) != EOF){scanf("%d", &m);for (int i=0; i<n; ++i) //n个顶点{scanf("%d%d", &x, &y);point[i].x=x;point[i].y=y;}for (int i=0; i<m; ++i) //m个边{scanf("%d%d", &from, &to);edge[i].from=from-1;edge[i].to=to-1;edge[i].cost=calcdist(from-1, to-1);}ans=Directed_MST(0, n, m);if (ans==-1)    printf("NO\n");else printf("%.2f\n", ans);}return 0;
}

参考：演算法笔记-Tree