本文主要是介绍NKOJ 2895 万径人踪灭(Manacher+FFT),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
P2895 万径人踪灭
题目描述
如果机房马上要关门了,或者你急着要和MM 约会,请直接跳到第六个自然段。
VFleaKing注意到了这条上山下山的土路,有些地方能欣赏到美景,有些地方则不能。把上山的道路每10cm分为一小段,则对于每一小段,用a 表示能欣赏到美景,用b表示不能欣赏到美景,就能得到一个只含a,b的字符串s。当然由于下山和上山是一条路,所以下山的道路的字符串就是将上山的道路的字符串反过来。设上山字符串长度为n,每个字符依次为s1,s2,…,sn。在上山和下山的路上,VFleaKing会选择某些小段查看旁边的景色,其他时间低头走路。即VFleaKing会选择k个小段x1,x2,…,xk且k>=1,1<=x1 < x2< …< xk<=n,VFleaKing上山和下山的过程中会在这些地方查看景色。
VFleaKing 希望,上山下山时看到的美景的情况相同。也就是说,VFleaKing 上山时是否看到了美景的情况是:sx1,sx2,…,sxk,记为字符序列T1,下山时是否看到了美景的情况是:sxk,sxk-1,…,sx1,记为字符序列T2。VFleaKing希望T1=T2。
VFleaKing还希望,上山下山时查看景色的间隔相等。也就是说,上山时查看景色的间隔为:x2-x1,x3-x2,…,xk-xk-1,记为数列P1。下山时查看景色的间隔为:xk-xk-1,xk-1-xk-2,…,x2-xk-1,记为数列P2。VFleaKing希望P1=P2。
VFleaKing觉得,如果第一次查看景色和最后一次查看景色这段时间里,没有一次低头看路他就会摔倒。也就是说,如果对于所有1<=i<=k 都有xi=x1+i-1,VFleaKing就会摔倒,VFleaKing 不希望发生这样的情况。
就是要在一个只含a,b的字符串中选取一个子序列,使得:
1. 位置和字符都关于某条对称轴对称。
2. 不能是连续的一段。
以s=“abaaaaabbabbabaa”为例。如果我们用符号[a1,a2,…,ak]表示一个序列,那么[1,4]
就是一个合法的序列x,[5,8,10,12,15]也是,[4,5,8,9,10,11,12,15,16]也是。但是[1,2]不满足VFleaKing第一个希望和第三个希望,所以不是。[1,2,4]不满足第二个希望,所以不是。[9,10,11]不满足第三个希望,所以不是。
给你字符串s,现在VFleaKing 想知道,有多少个合法的x。答案可能很大,VFleaKing想知道结果对1000000007取模的值。
输入格式
一行,一个只包含a,b两种字符的字符串。
输出格式
一行,一个非负整数表示问题的答案。
样例输入1:
abaabaa
样例输入2:
aaabbbaaa
样例输入3:
aaaaaaaa
样例输出1:
14
样例输出2:
44
样例输出3:
53
样例解释:
第一组:14 个方案分别是:[1,3],[1,4],[2,5],[1,6],[3,6],[4,6],[1,7],[3,7],[4,7],[1,4,7],[3,5,7],[1,3,4,6],[1,2,5,6],[3,4,6,7].
第二组:不解释
第三组:不解释
数据范围:
对于10%的数据,字符串仅包含字母a或仅包含字母b。
另有20%的数据,n<=1000。
另有20%的数据,要么a的个数不超过10,要么b的个数不超过10。
另有10%的数据,n<=10000。
对于100%的数据,n<=100000。
这道题真是劲啊!
显然的可以想到如果选出的串是连续的,那么答案是容易统计的,但是问题是处理不连续的。
首先在相邻两个字符之间添加一个字符,这样奇数和偶数的问题就解决了。
然后考虑以某个位置为对称中心,能够选出多少种方案,为了统计这个方案,显然我们需要知道有多少对字符串以该点为对称中心。
那么先假设总共有 X 对字符以该点为中心对称(它本身也算)。
再考虑到题目提出的必须要休息一次的要求,即必须是至少不相连的两段,容易想到统计出以该点为中心,向两边的连续的相同字符有
那么以该点为对称中心的方案数 S=2X−Y−1 ,意思是每一对字符都可以选择取或不取,然后减掉只有一段的情况和空串的情况。
那么现在如何统计出 X 和
观察之后容易发现,只存在了两种字符,那么将
那么很容易发现对于一个位置 K ,
最后枚举每个点求和即可。 Ans=∑(2Xi−Yi−1)
代码:
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<cmath>
#define N 1000005
#define ll long long
using namespace std;
char s[N],ss[N];
ll L,Max,rad[N],pos,T[N],P[N];
const ll mod=1000000007;
const double pi=4.0*atan(1.0);
complex<double>A[N],B[N],wi[N];
void Manacher()
{ll i,j,k;for(i=1;i<=L;i++){if(i>Max)rad[i]=1;else rad[i]=min(Max-i+1,rad[2*pos-i]);while(i-rad[i]&&i+rad[i]<=L&&s[i-rad[i]]==s[i+rad[i]])rad[i]++;if(i+rad[i]-1>Max)Max=i+rad[i]-1,pos=i; }
}
void FFT(complex<double>W[],ll n,ll ty)
{ll i,j,k,m;complex<double>t0,t1;for(i=0;i<n;i++){for(j=0,k=i,m=1;m<n;m<<=1,j=(j<<1)|(k&1),k>>=1);if(i<j)swap(W[i],W[j]);}wi[0]=1;for(m=1;m<n;m<<=1){t0=exp(complex<double>(0,ty*pi/m));for(i=1;i<m;i++)wi[i]=wi[i-1]*t0;for(k=0;k<n;k+=m<<1)for(i=k;i<m+k;i++){t0=W[i];t1=W[i+m]*wi[i-k];W[i]=t0+t1;W[i+m]=t0-t1;}}if(ty==1)return;t0=1.0/n;for(i=0;i<n;i++)W[i]*=t0;
}
int main()
{ll i,j,k,n=1,ans=0;scanf("%s",&ss[1]);ss[0]=s[0]='%';L=strlen(ss)-1;for(i=1;i<=L;i++){s[i<<1]=ss[i];s[i<<1|1]='$';s[i*2-1]='$';}L=strlen(s)-1;Manacher();while(n<2*L)n<<=1;for(i=1;i<=L;i++){if(s[i]=='a')A[i]+=1;if(s[i]=='b')B[i]+=1;}FFT(A,n,1);FFT(B,n,1);for(i=0;i<=n;i++)A[i]*=A[i],B[i]*=B[i];FFT(A,n,-1);FFT(B,n,-1);for(i=1;i<=L;i++){T[i]=floor(A[i<<1].real()+0.5)+floor(B[i<<1].real()+0.5);T[i]=T[i]+1>>1;}P[0]=1;for(i=1;i<=L;i++)P[i]=P[i-1]<<1,P[i]%=mod;for(i=1;i<=L;i++)ans=(ans+P[T[i]]-rad[i]/2-1)%mod;printf("%lld",(ans+mod)%mod);
}
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