最大子段和问题(暴力 分治 动规)

本文主要是介绍最大子段和问题(暴力 分治 动规)，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

算法设计与分析--求最大子段和问题

问题描述：

给定由n个整数组成的序列(a1,a2, …,an)，求该序列形如

   

 的子段和的最大值，当所有整数均为负整数时，其最大子段和为0。

1 暴力

int maxSum(int a[],int n)
{int maxSum = 0;int sum = 0;for(int i = 0; i < n; i++) //从第一个数开始算起{for(int j = i + 1; j < n; j++)//从i的第二个数开始算起{sum = a[i];a[i]  += a[j];if(a[i] > sum){sum = a[i];		//每一趟的最大值}}if(sum > maxSum){maxSum = sum;}}return maxSum;
}

2分治法

    从最大子段和问题的解的结构可以看出，它适合用分治法求解。
a[1:n]的最大子段和有三种情形：
(1) a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同。
(2) a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同。
(3) a[1:n]的最大子段和为             ，
     
     且1≤i≤n/2, n/2+1≤j≤n。
其中(1)和(2)这两种情形可递归求得。
对于情形(3), a[n/2]与a[n/2+1]在最优子序列中，a[1:n]的最大子段和是a[1:n/2]的最大子段和与a[n/2+1：n]的最大子段和的和。

int maxSum(int a[],int left, int right)
{int sum = 0;if(left == right)	//如果序列长度为1，直接求解{if(a[left] > 0) sum = a[left];else sum = 0;}else {int center = (left + right) / 2;	//划分int leftsum = maxSum(a,left,center);	//对应情况1，递归求解int rightsum = maxSum(a, center + 1, right);//对应情况2， 递归求解int s1 = 0;int lefts = 0;for(int i = center; i >= left; i--)	//求解s1{lefts += a[i];if(lefts > s1) s1 = lefts;	//左边最大值放在s1}int s2 = 0; int rights = 0;for(int j = center + 1; j <= right; j++)//求解s2{rights += a[j];if(rights > s2) s2 =rights;}sum = s1 + s2;				//计算第3钟情况的最大子段和if(sum < leftsum) sum = leftsum;	//合并，在sum、leftsum、rightsum中取最大值if(sum < rightsum) sum = rightsum;}return sum;
}

3. 最大子段和问题的动态规划算法

这个算法可以通过动态规划分解为两步：
1，计算辅助数组。
2，计算辅助数组的最大值。

辅助数组b[j]用来记录一j为尾的子段和集合中的最大子断和。

例如，假如有一序列：-2，11，-4，13，-5，-2
则
          b(1) = -2 ,b(2) = 11, b(3) = 7, b(4) = 20, b(5) = 15, b(6) = 13
          a(1) = -2, a(2) = 11, a(3) = 7, a(4) = 13, a(5) =  -5, a(6) = -2
          b(1) < 0    b(2) > 0    b(3) > 0  b(4) > 0   b(5) > 0     b(6) > 0
---->
                        { b(j - 1) + a(j)                     当b(j-1) >= 0
              b(j) = {
                        {a(j)                                      当b(j-1) < 0

 for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);}int b=0;for(i=1;i<=n;i++){if(b<0)b=a[i];elseb=b+a[i];if(b>sum)sum=b;}

 for(i=0;i<n;i++){scanf("%d",&a[i]);}int b=0;for(i=0;i<n;i++){b+=a[i];if(b<0)b=0;if(b>sum)sum=b;}

这篇关于最大子段和问题(暴力 分治 动规)的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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