计算机图形学：逐点比较法生成直线

本文参考书籍《计算机图形学教程》，部分图片内容摘引。

一、生成直线

 所谓生成直线，就是给你一组(x1,y1,x2,y2)参数，要求你生成一条从(x1,y1)到(x2,y2)的直线。
 在布满像素点的光栅显示器上，我们可以控制每个像素点的亮度，你该如何生成这条直线呢？

二、逐点比较法

（1）基本推导过程

逐点比较法推导（以第一象限为例）过程如下：
逐点比较法的推广：

逐点比较法的算法过程：

解释：
 上文中以坐标系原点O为起点，讨论从起点O生成到终点A直线的过程。
 之所以要比较OA 和 OM的斜率，因为OA是目标直线，比较OM和OA的斜率可以确定当前生成点M的相对位置，确定M在目标直线的上方或者下方等。
 当直线生成到M点时，上图给出了根据状态值F判定的转移方向，使得M移动到新的生成点，并计算新的状态值F。
 上文中的走步方向可以根据单独象限的情况分析得出，而偏差值之所以加绝对值是为了统一计算式，其实根据走步方向列出式子计算一下是等价的。

注意：
 针对电脑屏幕而言，通常以最左上角点为坐标起点O,以水平方向和竖直方向为x轴和y轴，坐标都为正数。所以其实没有什么象限可分，只有方向可分，书中的四个象限其实是终点(x2,y2)针对于起点(x1,y1)的四个方向（左上角、右上角、左下角、右下角），即针对终点相对于起点的四个方向分别展开讨论。（因为方向不同规则不同，所以分开讨论）
 由上可知，当终点相对于起点在不同的方向时，从起点到终点生成直线遵循不同的规则，规则如上图中表4.1所示。

（2）推导的普及

 书中讨论以坐标系原点O为起点，生成从O到A的直线的过程，具体的讨论了生成点M的变化过程（可以看作是从M从O到A，但光栅屏幕上二维的位置都为整数，所以可能是一个相近的位置）。但是当计算机需要生成直线时，大部分时候直线的起点都不在坐标系原点（或者说屏幕原点，即屏幕左上角），这时该怎么办呢？

 当从任意点(x1,y1)到(x2,y2)生成直线的过程如上推导。可以得知，当在第一象限（终点相对起点在右上角时），若 my✖dx-mx✖dy<0 ，则 ym++ , my’=my +1 。设F=my✖dx-mx✖dy ，则F‘=my’✖dx-mx✖dy=(my +1)✖dx-mx✖dy=F+dx。所以针对任意起点和终点，也可以推导出递推公式和走步规律。

（3）终点判断

（4）代码展示

逐点比较法生成直线的代码展示如下：

#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<graphics.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
void cb_line(int x1,int y1,int x2,int y2)
{int dx, dy, n, k, i, f;int x, y;dx = abs(x2 - x1);dy = abs(y2 - y1);n = dx + dy;if (x2 >= x1)k = (y2 >= y1 ? 1 : 4);elsek = (y2 >= y1 ? 2 : 3);x = x1;y = y1;putpixel(x, y, RED);for (i = 0, f = 0; i < n; i++){if (f >= 0) {switch (k){case 1:putpixel(++x, y, RED);f -= dy;break;case 3:putpixel(--x, y, RED);f -= dx;break;case 2:putpixel(x, ++y, RED);f -= dx;break;case 4:putpixel(x, --y, RED);f -= dx;break;}}else{switch (k){case 1:putpixel(x, ++y, RED);f += dx;break;case 3:putpixel(x, --y, RED);f += dx;break;case 2:putpixel(--x, y, RED);f += dy;break;case 4:putpixel(++x, y, RED);f += dy;break;}}}
}
int main()
{initgraph(640, 480);cb_line(10, 10, 100, 100);cb_line(10, 100, 100, 10);getchar();closegraph();return 0;
}

 上述代码中f状态值每次加减的是dx、dy，这是针对任意起点、终点的推导规则，此规则的走步方向和加减形式均于起点为原点O的推导一样，只是状态值F每次加减的不是具体的x或y值，而是dx或dy。