小话层次分析法（AHP）

在目标决策领域，有的决策数据信息是量化的，如一个项目的未来收益、消耗成本等，通过对各种信息进行计算可以做出较好的决策；但有的决策数据信息并不全是数字化的，如项目信息为“这个收益更好”、“这个成本更高”这样的非数字形式，计算就变得困难。而本文涉及到的层次分析法就是一种解决类似多目标决策的方法。层次分析法力求将定性信息和定量信息结合，依据决策者经验、知识等主观元素构建决策矩阵来量化出各目标权重关系的方法。

一、首先对层次分析法有个大概的了解：层次分析法是什么？能做什么？

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）将信息构建为一个三层框架（名字源来），即目标层（决策想要实现目标）、准则层（影响目标的各种因素）、方案层（提供的多个方案），用量化的方式实现人的判断过程来解决决策问题。

其核心就是把人的主观判断量化计算，通过计算结果来做决策。这种主观判断需要在一定领域内，即某次的判断是在各种条件、标准既定下的，当有新方案、条件加入时，需重新做出判断。

二、掌握基本概念：

1. 标度：态度、喜好等主观因素量化的形式。层次分析法中较多使用1-9标度，通过对两两因素进行比较获得相对重要程度的关系（重要程度也可解释为偏好、可能性等），这种重要程度用数字1-9及其倒数表示为相互间的倍数。表1为1-9标度法，其用法为当元素a比元素b强烈重要时标记为7。

表1 1-9标度法
2.一致性：决策、数据中的逻辑是否合理。当A比B重要，B比C重要，自然A比C重要我们认为合理，是一致的，但A不比C重要，这里是不一致的。在使用层次分析法时会要求我们进行一致性检验，通过检验的决策可信度更高（值得注意的是这种不一致的情况是合理存在的）。

三、方法框架：

1. 将所有信息划分为目标、准则、方案三个层次（准则层下有时会有子准则），构建一个树形决策框架
2. 通过问卷、专家对准则、方案的评价构建判断比较矩阵
3. 通过矩阵计算出准则、方案在既有情况下的相对重要性
4. 一致性检验

四、实操演示：

1. 搭建框架
   假设我们现在想要评价两家公司A、B的未来潜力，根据专家建议，我们应该从盈利市场、行业三个准则来比较，基于以上条件我们构建如下的决策框架图（图1）。
   

图1 决策框架图
2. 构建矩阵
分别对需要计算的准则层和方案层构建判断矩阵，矩阵中的值通过专家或问卷调研，然后使用1-9标度法两两对比获得，如图3中专家认为盈利比市场稍重要、比行业强烈重要，通过计算矩阵我们得到各准则的在目标中的权重（数据皆为为拟定）。

图2 目标-准则层

图3 准则-方案层
3.计算权重
这里插播一条矩阵计算权重的方法。在计算矩阵时首先独单计算每层因素对于上层因素的权重，称为层次单排序；在单排序后，想要计算某层因素（通常为底层）对顶层因素的权重，称为层次总排序。
判断矩阵常用的计算方法有方根法与和法。假设目标层为T={t1}，准则层m个准则，方案层n个方案。
1.方根法计算目标-准则层
（1）计算每行乘积的m次方，得到一个m维向量

第一行乘积开3次方：2.758，第二行乘积开3次方：1.185，第三行乘积开3次方：0.357
（2）将将向量标准化即为权重向量，即得到权重

求和得2.758+1.185+0.357=4.221，计算占比进行标准化。
2.和法计算准则-方案层
（1）先将矩阵的每列进行归一化
上述矩阵归一化后结果
0.75 0.75
0.25 0.25
（2）将归一化后的各元素按行求和，参照方法1的（1）
求和结果 （1.5， 0.5）
（3）将求和结果进行归一化，参照方法1的（2）
归一化结果 （0.75，0.25）
4.一致性检验
完成第一阶段的计算后，需要对结果进行一致性检验，当一致性检验未通过时，代表决策存在问题，需对决策数据进行纠正
首先计算出每个判断矩阵得最大特征根λ，A为判断矩阵

CI为一致性判断指标，λ为特征根，CI越接近0越具有一致性

但通常使用CR作为判断标准，CR为一致性比例，RI为随即一致性指标（通过查表获得），CR>0.1时一致性检验不通过。

层次总排序
上面四个步骤完成了整个方法初始的计算，在权重计算步骤中介绍的两种计算为单排序计算方法，当计算完每层权重后，计算方案层对目标层的总排序权重即层次总排序，就可以通过权重结果直接做出决策了。
单排序中：
目标-准则层计算出权重向量C
C = [0.65, 0.28, 0.07]
准则-方案层计算出权重向量si
盈利-方案 s1 = [0.75, 0.25]
市场-方案 s2 = [0.8, 0.2]
行业-方案 s3 = [0.3, 0.7]
S = [s1,s2,s3]
总排序：为CS=[0.7325, 0.2675]
本文中，我们通过AHP方法，在专家建议下以盈利、市场和行业为准则，比较得出公司A的潜力高于公司B。

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*参考文献：
[1] Saaty T L . 网络层次分析法原理及其应用[M]. 北京理工大学出版社, 2015.
[2]孙铭忆.层次分析法(AHP)与网络层次分析法(ANP)的比较[J].中外企业家,2014(10):67-68.