数字信号处理|Matlab根据z域下因果LTI系统函数画零极点图并判断稳定性

本文主要是介绍数字信号处理|Matlab根据z域下因果LTI系统函数画零极点图并判断稳定性，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. LTI系统的系统函数

已知差分方程（y表示输出，x表示激励输入）：

$\large \sum\limits_{k = 0}^M {\mathop a\nolimits_k y\left( {n - k} \right)} = \sum\limits_{m = 0}^M {\mathop b\nolimits_m x\left( {n - m} \right)} \$

将上式进行Z变换：

$\large \sum\limits_{k = 0}^M {\mathop a\nolimits_k Y\left( z \right)} \mathop z\nolimits^{ - k} = \sum\limits_{m = 0}^M {\mathop b\nolimits_m X\left( z \right)} \mathop z\nolimits^{ - m} \$

最后整理等式得到系统函数H(z)：

$\large H\left( z \right) = \frac{{Y\left( z \right)}}{{X\left( z \right)}} = \frac{{\sum\limits_{m = 0}^M {\mathop b\nolimits_m } \mathop z\nolimits^{ - m} }}{{\sum\limits_{k = 0}^M {\mathop a\nolimits_k } \mathop z\nolimits^{ - k} }}\$

注意：b是分子系数（输入X系数）；a是分母系数（输出Y系数）

2. LTI系统条件下的因果、稳定系统

2.1 因果系统

满足因果系统的充要条件：

时域：h(n)为因果系列，即：当n<0 时 h(n) < 0

Or

z域：要满足ROC（收敛域在圆外）即： $\large \mathop R\nolimits_{\mathop x\nolimits^ - } < \left| z \right| \le \infty \$

2.2 稳定系统

满足稳定系统的充要条件:

时域：h(n)绝对可和，即： $\large \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\left| {h\left( n \right)} \right|} < \infty \$

Or

z域：ROC（收敛域）包含单位圆

3. 使用的重要函数

roots()：求根（用来求零点和极点）
zplane()：画零极点图

4. 代码总览

解决的问题：判断该LTI因果系统的稳定性

b = [1 2.3 1.32 0.52];% x 的系数（分子）
a = [1 -1.78 2.4 0.55];% y 的系数（分母）%画零极点图并求出零极点
value_zero = roots(b);%零点
value_pole = roots(a);%极点
figure
zplane(b,a);% zplane画零极点图，○表示零点，×表示极点
fprintf('零点是：%f',value_zero);
fprintf('极点是: %f',value_pole);%判断系统稳定性
if max(value_pole) > 1disp("该系统不是稳定系统");
elsedisp("该系统是稳定系统");
end

结果：