本文主要是介绍07 点积,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
点积
- 基本运算
- 几何解释
- 投影运算和基本运算的联系
- 多维空间到一维空间的投影
- 点积的作用
这是关于3Blue1Brown "线性代数的本质"的学习笔记。
基本运算
两个维数相同的向量 [ 2 , 7 , 1 ] T , [ 8 , 2 , 8 ] T [2, 7, 1]^{T},[8, 2, 8]^{T} [2,7,1]T,[8,2,8]T,求它们的点积,就是将对应坐标配对,求出每一对坐标的乘积,并将结果相加。
几何解释
几何解释:求两个向量 v ⃗ \vec{v} v和 w ⃗ \vec{w} w的点积,就是将向量 w ⃗ \vec{w} w朝着过原点和向量 v ⃗ \vec{v} v终点的直线上投影,将投影的长度与向量 v ⃗ \vec{v} v的长度相乘;或者反过来,将向量 v ⃗ \vec{v} v朝着过原点和向量 w ⃗ \vec{w} w终点的直线上投影,将投影的长度与向量 w ⃗ \vec{w} w的长度相乘。
如果 w ⃗ \vec{w} w投影方向和 v ⃗ \vec{v} v的方向相反,点积为负值。
当 v ⃗ \vec{v} v和 w ⃗ \vec{w} w相互垂直,点积为零。
投影运算和基本运算的联系
多维空间到一维空间的投影
将2维向量投影到一维空间(数轴)上,需要做合适的线性变换,即找出合适的变换矩阵;而我们知道,线性变换矩阵的列是基向量变换后的位置,所以,问题就转换为求二维空间基向量 i ⃗ \vec{i} i和 j ⃗ \vec{j} j在一维空间上的位置。
对于从二维空间变换到一维空间来说,变换矩阵就是1×2的矩阵。
为了找到这个矩阵的各列值,我们假设一维空间数轴0点和二维平面原点重合,数轴是二维平面上的这样一条线,如图3所示。
如图3,现在假设二维平面上一个单位向量 u ⃗ \vec{u} u碰巧落在这条数轴上。
现在,我们的目的是找到二维平面的基向量 i ⃗ \vec{i} i和 j ⃗ \vec{j} j在一维空间,即数轴上的位置。因为基向量变换后的位置就是线性变换矩阵的两个列。
也就是说,现在要求 i ⃗ \vec{i} i和 j ⃗ \vec{j} j向 u ⃗ \vec{u} u所在直线的投影。我们可以做如图5所示的对称轴来进行。
由于 i ⃗ \vec{i} i和 u ⃗ \vec{u} u都是单位向量,则将 i ⃗ \vec{i} i向 u ⃗ \vec{u} u所在直线的投影,与将 u ⃗ \vec{u} u向 i ⃗ \vec{i} i所在直线的投影,是完全对称的。
如果要知道 i ⃗ \vec{i} i向 u ⃗ \vec{u} u所在直线的投影后落在哪个数上,答案就是 u ⃗ \vec{u} u向 x ⃗ \vec{x} x轴投影得到的数。
而 u ⃗ \vec{u} u向 x ⃗ \vec{x} x轴投影得到的数就是 u ⃗ \vec{u} u的横坐标。
因此,根据对称性,将 i ⃗ \vec{i} i向 u ⃗ \vec{u} u所在直线(即斜着的数轴)上投影所得到的数就是 u ⃗ \vec{u} u的横坐标。
同理,可以得到将 j ⃗ \vec{j} j在数轴上投影就是 u ⃗ \vec{u} u的纵坐标。因此,可以求得 i ⃗ \vec{i} i和 j ⃗ \vec{j} j变换后的位置,即转换矩阵的各列,如图6所示。
所以,描述投影变换的1×2矩阵的两列,就分别是 u ⃗ \vec{u} u的两个坐标。
这个二维平面内任意向量向这个数轴进行投影变换的结果,就是投影矩阵与这个向量相乘。这和这个向量与 u ⃗ \vec{u} u的点积在计算上完全相同。
投影运算就是用线性变换矩阵与向量相乘,这和点积基本运算是等价的。
点积的作用
点积是理解投影的有利几何工具,可以很方便地检验两个向量的指向是否相同(指向相同,点积结果大于0)。
更深入地,两个向量点乘,就是将一个向量转化为线性变换。
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