本文主要是介绍卡尔曼家族从零解剖-(04)贝叶斯滤波→细节讨论,逻辑梳理，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
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一、前言
上一篇博客，讲解的内容确实太多了，推导过程比较复杂，为了有一个整体的认知，方便后续学习，所以这里再花费一个篇幅梳理一下知识点。首先有最基本的贝叶斯公式：
f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f X , Y ( x , y ) f Y ( y ) = f Y ∣ X ( y ∣ x ) f X ( x ) ∫ − ∞ + ∞ f Y ∣ X ( y ∣ x ) f X ( x ) d x = η f Y ∣ X ( y ∣ x ) f X ( x ) (01) \color{Green} \tag{01} f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f_{X, Y}(x, y)}{f_{Y}(y)}=\frac{f_{Y \mid X}(y \mid x) f_{X}(x)}{\int_{-\infty}^{+\infty} f_{Y \mid X}(y \mid x) f_{X}(x) \mathrm{d} x}=\eta f_{Y \mid X}(y \mid x) f_{X}(x) fX∣Y(x∣y)=fY(y)fX,Y(x,y)=∫−∞+∞fY∣X(y∣x)fX(x)dxfY∣X(y∣x)fX(x)=ηfY∣X(y∣x)fX(x)(01) 有了这个贝叶斯公式呢，接着做了两个重要的假设：
( 01 ) : \color{blue}(01): (01): X 0 X_0 X0 与 Q 1 Q_1 Q1、 Q 2 Q_2 Q2、 Q 3 Q_3 Q3、 . . . . . . ...... ......、 Q k Q_{k} Qk 相互独立。
( 02 ) : \color{blue}(02): (02): X 1 X_1 X1 与 R 1 R_1 R1、 R 2 R_2 R2、 R 3 R_3 R3、 . . . . . . ...... ......、 R k R_{k} Rk 相互独立。
基于上上述的假设，我们假设了随机变量的状态方程与观测方程：
X k = f ( X k − 1 ) + Q k Y k = h ( X k ) + R k (02) \color{Green} \tag{02} X_k=f(X_{k-1})+Q_{k} \\Y_k=h(X_k)+R_k Xk=f(Xk−1)+QkYk=h(Xk)+Rk(02)然后我们进行随机变量的递归过程，图示如下(上一篇博客图二简化精华版)：
上图为大致递推流程，但是这个流程是很难走下去的，为什么呢？假设现在初始状态 X 0 X_0 X0、 f ( x ) f(x) f(x)状态转移方程、 h ( x ) h(x) h(x) 测量方程、 与初始状态转移噪声 Q 1 Q_1 Q1 与 测量噪声 R 1 R_1 R1、以及各个时刻的观测随机变量 Y 1 Y_1 Y1到 Y k Y_k Yk，但是我们依旧没有办法递推出 X k + X_k^+ Xk+，因为我们不知道 Q 2 Q_2 Q2 到 Q k Q_k Qk， R 2 R_2 R2 到 R k R_k Rk，注意，这里是说随机变量 Q k Q_k Qk 与 R k R_k Rk 的具体取值不知道是多少，而不是说关于他们的函数表达式不知道(后续学习卡尔曼滤波会有更加深的体会)，所以根据状态方程与测量方程进行了如下推导：
( 01 ) : \color{blue}(01): (01): 根据状态方程推导出先验概率密度函数 f X k − ( x ) f_{X_{k}}^-(x) fXk−(x)，其等价于(01)式中的 f X ( x ) f_X(x) fX(x)。
f X k − ( x ) = d F X 1 − ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ f Q k [ x − f ( v ) ] f X k − 1 + ( v ) d v (03) \color{red} \tag{03} f_{X_{k}}^-(x)=\frac{\mathrm{d} F_{X_1}^-(x)}{\mathrm{d} x}= \int_{-\infty}^{+\infty} f_{Q_{k}}[x-f(v)] f_{X_{k-1}}^{+}(v) \mathrm{d} v fXk−(x)=dxdFX1−(x)=∫−∞+∞fQk[x−f(v)]fXk−1+(v)dv(03)
( 02 ) : \color{blue}(02): (02): 根据测量方程推导出出似然概率密度函数 f Y k ∣ X k ( y k ∣ x ) f_{Y_{k} \mid X_{k}}(y_{k} \mid x) fYk∣Xk(yk∣x)，等价于(01)式中的 f Y ∣ X ( y ∣ x ) f X ( x ) f_{Y \mid X}(y \mid x) f_{X}(x) fY∣X(y∣x)fX(x)。 f Y k ∣ X k ( y k ∣ x ) = f R k [ y k − h ( x ) ] (04) \color{red} \tag{04} f_{Y_{k} \mid X_{k}}(y_{k} \mid x)=f_{R_{k}}\left[y_{k}-h(x)\right] fYk∣Xk(yk∣x)=fRk[yk−h(x)](04)
( 03 ) : \color{blue}(03): (03): 最后参照(01)式子，可得后验概率密度函数 f X k + ( x ) f_{X_k}^+(x) fXk+(x)：
f X k + ( x ) = η k ⋅ f X k ∣ Y k ( x ) ⋅ f X k − ( x ) = η k ⋅ f R k [ y k − h ( x ) ] ⋅ ∫ − ∞ + ∞ f Q k [ x − f ( v ) ] f X k − 1 + ( v ) d v (05) \color{red} \tag{05} f_{X_k}^+(x)=\eta_k ·f_{X_k | Y_k}(x) ·f_{X_k}^-(x) =\eta_k ·f_{R_{k}}\left[y_{k}-h(x)\right]· \int_{-\infty}^{+\infty} f_{Q_{k}}[x-f(v)] f_{X_{k-1}}^{+}(v) \mathrm{d} v fXk+(x)=ηk⋅fXk∣Yk(x)⋅fXk−(x)=ηk⋅fRk[yk−h(x)]⋅∫−∞+∞fQk[x−f(v)]fXk−1+(v)dv(05) η k = [ ∫ − ∞ + ∞ ( f R k [ y k − h ( x ) ] ⋅ ∫ − ∞ + ∞ f Q k [ x − f ( v ) ] f X k − 1 + ( v ) d v d x ] − 1 ) d x (06) \color{Green} \tag{06} \eta_k=[\int_{-\infty}^{+\infty}(f_{R_{k}}\left[y_{k}-h(x)\right]· \int_{-\infty}^{+\infty} f_{Q_{k}}[x-f(v)] f_{X_{k-1}}^{+}(v) \mathrm{d} v\mathrm{d} x]^{-1}) \mathrm d x ηk=[∫−∞+∞(fRk[yk−h(x)]⋅∫−∞+∞fQk[x−f(v)]fXk−1+(v)dvdx]−1)dx(06)
需要注意，其上的 f Q k f_{Q_k} fQk 与 f R k f_{R_k} fRk 都为概率密度函数(PDF)。求得 后验概率密度，对齐进行积分即可得到概率分布，进一步求期望即可。
二、技术难点
公式确实推导出来了，但是很明显上式是一个广义结果，并没有实例化，比如 f ( x ) f(x) f(x)， h ( x ) h(x) h(x)。如果这两个是函数十分复杂，比如非线性。那么上式则设计到两个非线性无穷积分的运算，也就是 (03) 式与 (06) 式。亦或者 f Q k ( x ) f_{Q_k}(x) fQk(x) 与 f R k ( x ) f_{R_k}(x) fRk(x) 十分复杂，同样会导致非线性无穷积分的运算，这样有可能会导致无法求解。当然，这个推导出来的结果就没有任何作用了。
所以呢，在实际的应用中，基于贝叶斯的不通算法会有不同假设，比如令 f ( x ) f(x) f(x)， h ( x ) h(x) h(x) 为线性函数，那么显然，其就应用场景就存在局限性了，卡尔曼滤波就是一种具体化的实现。另外还有扩展卡尔曼滤波，其能够处理一些非线性的复杂场景，后续也会为大家详细分析。依照不通实现方式，对基于贝叶斯滤波思想的方法进行了归类如下：
这篇关于卡尔曼家族从零解剖-(04)贝叶斯滤波→细节讨论,逻辑梳理的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
