伯努利二项分布的相对高概率与实际的低概率

伯努利二项分布的相对高概率与实际的低概率

计算公式

$$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$

$n$ 表示试验次数，$p$ 表示事件出现的概率，$k$ 表示事件出现的次数

简单理解就是，盒子里有total个小球，有$p\ast total$个红球，$(1-p)\ast total$个黑球，每次有放回地取1个小球，每次取到红球的概率为$p$。

给定 $p$ 和 $n$

$P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=n)=1$

$n=10,p=0.3$, $P$ 关于 $X$的函数

$X=3$ 的概率最大, 但是不足0.3

$n=100,p=0.3$ 时，$P$ 关于 $X$ 的函数

$X=30$ 的概率最大，但是不足0.1

$n=100,p=0.03$ 时, $P$ 关于 $X$ 的函数

$X=3$ 的概率最大，但是不足0.3

$n=100,p=0.99$ 时， $P$ 关于 $X$ 的函数

$X=99$ 的概率最大，但是不足0.4

$n=1000,p=0.99$ 时， $P$ 关于 $X$ 的函数

$X=990$ 的概率最大，但是不足0.15

由此，我们可以直接假定，小球总数就是$n$，红球的数量为$n\ast p$，那么$n$次试验中出现 $n\ast p$ 次红球的概率最高，即 $P(X=n\ast p)$ 最大，但是其数值大小并没有想象中的0.8、0.9那么大，但是可以看到

$$P(...,X=n\ast p-3,X=n\ast p-2,X=n\ast p-1,X=n\ast p,X=n\ast p+1,X=n\ast p+2,X=n\ast p+3,...)$$

的概率接近于$1$ 。

综上，给定 $p$ 和 $n$

$$P(X=n\ast p)=C_n^{n\ast p}{p}^{n\ast p}(1-p{)}^{n-n\ast p}$$

是所有 $X=k$ 中最大的值，但是这个值本身的大小其实不大

给定 $n$ ,但是 $p$ 可变

这种情况下可以理解为，

有 $n=100$ 个小球，有 $0$ 个红球， 取 $100$ 次，$100$ 次中只有 $0$ 个红球的概率；

有 $n=100$ 个小球，有 $1$ 个红球， 取 $100$ 次，$100$ 次中只有 $1$ 个红球的概率；

有 $n=100$ 个小球，有 $2$ 个红球， 取 $100$ 次，$100$ 次中只有 $2$ 个红球的概率；

有 $n=100$ 个小球，有 $3$ 个红球， 取 $100$ 次，$100$ 次中只有 $3$ 个红球的概率；

有 $n=100$ 个小球，有 $4$ 个红球， 取 $100$ 次，$100$ 次中只有 $4$ 个红球的概率；

…

有 $n=100$ 个小球，有 $99$ 个红球， 取 $100$ 次，$100$ 次中只有 $99$ 个红球的概率；

有 $n=100$ 个小球，有 $100$ 个红球， 取 $100$ 次，$100$ 次中只有 $100$ 个红球的概率；

$X$ 的取值范围为 $[0,100]$

如果记红球的个数为 $k$，那么上述式子就可以改写为：

$$P(X=k)=C_n^k(\frac{k}{n}{)}^k(1-\frac{k}{n}{)}^{n-k}$$

如果 $n=100$, 得到如下函数图像：

除了 $X=0$ 和 $X=100$ 处，$P=1$，其余的值都很小，

比如 $X=1$ 或者 $X=99$ 处， $P=0.3697$

比如 $X=2$ 或者 $X=98$ 处， $P=0.2734$

比如 $X=3$ 或者 $X=97$ 处， $P=0.2274$

而当 $X=50$ 的时候， $P=0.0795$

结论

我们可以得到这样一个形象的说明，假设有 $100$ 个人给你投票，每个人投给你的概率为 $0.99$，那么最后收到 $100$ 张票，虽然获得 $99$ 张投票的概率最大，但是其数值只有 $0.3697$,但是获得的票数超过 $90$ 的概率却大于 $0.9999$。如果每个人投给你的概率为 $0.5$，那么你获得50张选票的概率只有 $0.0795$，但是你的票数在 $[40,60]$ 之间的概率为 $0.9647$。主要原因在于刚好 $50$ 票的要求太苛刻，因为有 $101(0-100)$ 种票选结果。

作图代码

给定 $n$ 和 $p$

from scipy.special import comb
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltcount = 100
p_n = 50
p = p_n / count
q = 1 - pn = 100
ps = [i for i in range(n + 1)]
y = []
s = 0
for i in ps:t = comb(n, i) * np.power(p, i) * np.power(q, n - i)if i == n * p:print(t)s += ty.append(t)# a=0
# for i in range(21):
#     a+=y[40+i]# print('a=' ,a)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(4, 2.5))
print(s)
ax.plot(ps, y)
name = 'n = ' + str(n) + '\np = ' + str(p)
ax.set_xlabel('X', fontsize=12)
ax.set_ylabel('P', fontsize=12)
ax.set_title(name)
ax.grid()
figsave = 'n_' + str(n) + '_p_' + str(p) + '.png'
plt.tight_layout()
plt.savefig(figsave)
plt.close()

给定 $n$

from scipy.special import comb
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltn = 100ps = [i for i in range(n + 1)]
y = []
s = 0
for p in ps:t = comb(n, p) * np.power(p / n, p) * np.power((1 - p / n), n - p)# if p==1 or p==198:#     print(t)s += ty.append(t)fig, ax = plt.subplots(figsize=(4, 2.5))print(s)ax.plot(ps, y)
ax.set_xlabel('X = k', fontsize=12)
ax.set_ylabel('P', fontsize=12)
ax.grid()
ax.set_title('n = ' + str(n), fontsize=12)
plt.tight_layout()
figsave = 'n_' + str(n) + '.png'
plt.savefig(figsave)
plt.close()