day55--动态规划13

•  300.最长递增子序列 

•  674. 最长连续递增序列 

•  718. 最长重复子数组  

第一题：最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
• 输出：4
• 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

动态规划的方法解决：

（1）确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：表示i 之前包括i 的以nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度

（2）状态转移方程

位置i 的最长升序子序列等于j 从0到i-1各个位置的最长升序子序列+1的最大值

所以：if(nums[i] > nums[j]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);

（3）dp[i]的初始化

每一个i，对应的dp[i] （即最长递增子序列）起始大小至少都是1

（4）确定遍历顺序

dp[i]是由0到i-1各个位置的最长递增子序列推导而来，所以遍历i一定是从前向后遍历

j其实就是遍历0---i-1，那么是从前向后，

（5）举例推导

输入：[0,1,0,3,2]，dp数组变化如下：

第二题：最长连续递增序列

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [1,3,5,4,7]
• 输出：3
• 解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

本题相较于上一题，有一个限制在于连续递增，就是说子序列的元素在原序列中是连续的。反而简单了，如果出现nums[i]>nums[i-1]，计数再重头开始

动态规划五部曲：

（1）确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。

（2）确定递推公式

如果nums[i] > nums[i-1] ，那么以i为结尾的连续递增的子序列长度一定等于i-1结尾的连续递增子序列的长度+1；其实也是站在结果往前看，dp[i]的结果取决于dp[i-1]

（3）dp数组如何初始化

子序列长度最少也应该是1，所以dp[i]初始化为1；

（4）确定遍历顺序

dp[i+1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历

（5）举例推导数组

nums=[1,3,5,4,7]，跟前一个元素作比较

第三题：最长重复子数组

给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例：

输入：

• A: [1,2,3,2,1]
• B: [3,2,1,4,7]
• 输出：3
• 解释：长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。

0、首先子数组是连续子序列，要求两个数组中最长重复子数组，第一层含义是两个数组求出最长的连续子数组，第二层含义是，重复的子数组（最长的）的长度是多少。

1、动态规划五部曲

（1）确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]：以下标i-1为结尾的A，和以下标j-1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。

此时dp[0][0]的含义是什么？

（2）确定递推公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]只能由dp[i-1][j-1]推导出来。

即当A[i-1]和B[j-1]相等的时候，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1

（3）dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0]和dp[0][j]没有意义，方便递归，所以初始化为0

（4）确定遍历顺序

不管是外层遍历A，内层遍历B，或者是反过来都可以

遍历的时候记录dp[i][j]的最大值

（5）举例推导

总结：前两个理解比较简单，第三题略难，关于dp[i][j]和dp[i-1][j-1]的关系