目录
- @0 - 参考资料@
- @1 - 问题引入@
- @2 - burnside引理@
- @3 - pólya定理@
- @4 - pólya定理的生成函数形式@
@0 - 参考资料@
博客1
@1 - 问题引入@
一个经典问题：
一正方形分成4格，2着色，有多少种方案？
其中，经过转动相同的图象算同一方案。
假如不考虑转动，各种方案如下所示。
首先可以发现，转动的角度只有 4 种：0°，90°，180°，270°。
然后可以得到，每一次转动可以将一个方案唯一映射成另一个方案（可以是自身）。
于是我们可以用一个置换 p 描述一次旋转的效果，其中 p[i] 表示第 i 种方案被映射成了第 p[i] 种方案。
在这个例子中，4 种置换（0°，90°，180°，270°）构成了一个置换群。
（什么是置换群。。。emmm可以自行左转百度）
（以下的记法都是不严谨的，因为是根据我自己的记忆写的）
如果置换 f 使得元素 i 映射成 j，我们就记作 \(f:i -> j\)。
对于置换群 G，如果存在 \(f\in G\)，以及 \(f:x -> y\)，我们就称 x, y 为等价类。
显然这个等价关系满足传递性、自反性、对称性（对应群的几个性质）。
那么我们相等于求在置换群G的作用下的等价类个数。
@2 - burnside引理@
先抛结论：
我们称对于 f，满足 f:x -> x 的 x 为 f 作用下的不动点。记 c(f) 表示 f 的不动点个数。
则 G 作用下的等价类个数为：
\[cnt = \frac{\sum_{f\in G}c(f)}{|G|}\]
证明是我自己BB的，与主流证法不大一样（我也记不到主流证法了），所以可能不够简便。
引入（一个非常不严谨的）记法：记 \(S_{i, j}\) 表示将 i 映射到 j 的置换组成的集合。
首先证明几个引理：
引理 1：\(|S_{i, j}| = |S_{j, i}|\)
证明：等价于证明 \(|S_{i, j}| \le |S_{j, i}|\) 且 \(|S_{j, i}| \le |S_{i, j}|\)。
只需考虑 \(|S_{i, j}| \le |S_{j, i}|\)，另一半同理可证。
对于 \(f \in S_{i, j}\)，它的逆元 \(f^{-1} \in S_{j, i}\)。且根据置换群的性质，每个元素的逆元是唯一的，且不同元素的逆元不同。
所以 \(S_{j, i}\) 至少含有 \(|S_{i, j}|\) 个元素——即它们的逆元。
引理 2：若 \(S_{i, j}\) 不为空，则 \(|S_{i, j}| = |S_{i, i}|\)
证明：只需证明 \(|S_{i, j}| \le |S_{i, i}|\) 且 \(|S_{i, i}| \le |S_{i, j}|\)。
从 \(S_{j, i}\) 中任选一个元素 \(f\)，\(f\) 与 \(S_{i, j}\) 中的每一个 \(g\) 相乘得到 \(f*g\)。
显然有 \(f*g \in S_{i, i}\)，且 g 不相同时，得到的结果也一定不同，所以 \(|S_{i, j}| \le |S_{i, i}|\)。
然后依然是从 \(S_{j, i}\) 中任选一个元素 \(f\)，\(f\) 与 \(S_{i, i}\) 中的每一个 \(g\) 相乘得到 \(f*g\)。
有 \(f*g \in S_{j, i}\)，且 g 不相同时，得到的结果也不同。故又得到 \(|S_{i, i}| \le |S_{j, i}| = |S_{i, j}|\)（由引理 1）。
引理 3：一个等价类中的不动点数量总和 = |G|。
证明：设该等价类 \(E = {x_1, x_2, ..., x_k}\)。
则有 \(\sum_{i=1}^{k}|S_{x_1, x_i}| = |G|\)（每个在 G 中的置换一定会把 \(x_1\) 映射成等价类中的某个数）。
根据引理 1 + 引理 2，可以得到 \(\sum_{i=1}^{k}|S_{x_i, x_i}| = |G|\)，于是得证。
有了引理 3，就可以推导出我们的 burnside 引理的正确性了，因为不动点的总数 = 等价类个数*|G|。
@3 - pólya定理@
（注意是 pólya 定理而不是 polya 定理，虽然这不重要不过还是要看起来专业点）
burnside 引理提出了一种统计等价类的一般方法，而 pólya 定理提出了在染色问题下的不动点具体计算方法。
在我们一开始给出的问题中，假如我们要老老实实地算，要算 2^(2+2) 个方案在置换下是否为不动点。
当数据范围增大时，方案数急剧增大，burnside引理就失去了意义。
我们不妨把 2*2 个点拿出来，构建置换群。以下假设可用颜色数量为 m。
我们将每个置换循环分解，则这个置换作用下的不动点肯定是相同循环内的元素涂相同颜色。
设置换 f 的循环分解后共有 c(f) 个循环，则 f 作用下不动点数量为 \(m^{c(f)}\)。
则 G 作用下不动点数量为：
\[cnt = \frac{\sum_{f\in G}m^{c(f)}}{|G|}\]
这样就可以将指数级复杂度化为多项式复杂度。
@4 - pólya定理的生成函数形式@
可以发现，pólya 定理是非常显然的。但同时 pólya 定理也是非常普遍应用的。
但是！如果结合万能的生成函数，我们就可以得到一些更有趣的东西。
还是一开始的典型例子，假如我们想要知道固定黑色格子有多少个时，本质不同的方案数。
这时候我们就需要利用生成函数了。
假如置换 f 进行循环分解得到 k 个循环，每个循环的循环节大小分别为 x1, x2, ..., xk。
则这个置换 f 对应的生成函数为 \(F(f) = \prod_{i=1}^{k}(b^{x_i} + w^{x_i})\)。其中 b, w 就是形式变量。
整个置换群 G 的生成函数为：
\[F(G) = \frac{\sum_{f\in G}F(f)}{|G|}\]
则 G 中的 \(b^i*w^j\) 项的系数等于涂 i 格黑色与 j 格白色的方案数。
比如对于我们一开始的例子，生成函数为：
\[F(G) = \frac{1}{4}((b + w)^4 + (b^4 + w^4) + (b^2 + w^2)^2 + (b^4 + w^4)) = w^4+w^3b+2w^2b^2+wb^3+b^4\]
验证一下就可以发现它的正确性。
