哥德尔命题5-命题11的两个图表 水灾 奥运——哥德尔读后之十六

2023-10-30 06:59

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哥德尔命题5-命题11的两个图表 水灾 奥运——哥德尔读后之十六

刚刚感叹一番全球天灾,完成一篇哥德尔阅读的对比图表文。休憩转换一下阅读奇怪字符的神经,听听音乐,看看美图。这几天,重又走进哥德尔之际,历史的聚焦镜头,一下子从遥远的西欧洪灾折转到了老家的邻省河南。西欧的洪水恐怕还没有退尽,在河南郑州,还有河南很大范围的城镇,却似乎是碰到了千年未遇的水难。真不知道这个世界怎么啦,可怜地铁隧道中,沉没多少冤鬼魂。九龙翻江兴恶浪,遗祸中原郑州城。
祈祷上苍,佑护生灵。
水灾留照:隧道积水和隧道前车辆
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郑州地铁5号线
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还是来追寻我的文字梦吧。
哥德尔在给出46个定义之前,首先给出了4个可证明的命题。陈述思路其实差不多,也是先给出定义,再给出命题。给出递归的定义之后,一俟定义完毕,哥德尔马上就给出了命题1-4。在他继续去陈述另一批命题5-11之前,则是先给出46个定义。在阅读哥德尔1962年译本命题1-4时,还没见到2000年译本。既然在定义1-46中对于两个译本的定义做了对比,为保持这种对比的一致性,用更闪亮一点的描述,即所谓可持续性,在继续哥德尔的5-11命题之前,回顾一下前四个命题,并如同前述定义对比那样,对这两个版本的命题也来一个对比,应该还有点意思。
2000年译本的中译,来自张寅生《证明方法与理论》附录,其后的5-11命题对比同此。

一、两个译本的中译后命题1-4对比

两个译本命题1-11对比图表1:1-4

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二、两个版本译本的5-6定理对比

46个定义之后,接之又是一批可成立的命题,那自然可以称之为定理。但1962年译本以命题形式表述,2000年译本直接称之为定理。我们继续使用图表来进行这种对比,可惜2000年译本把哥德尔原著的第三部分和第四部分省略,只有命题1-6的内容,定理6之后无有。以下图表也就只有两个命题的对比,命题6之后的那些命题,仅仅1962年译本才有,单行列于其后吧。由此,我们的对比性证明,也就仅在命题5-6。从命题7到命题11,全来自哥德尔1962年英译本,贯通哥德尔原著的第2章,第3章和第4章,命题11的内容,包括其证明,出现在哥德尔全文的最后两页。这也是全文的第4章,先给出命题11,然后给出命题11的证明。

两个译本命题5-6对比图表2:5-6及1962年译本的命题7-11.
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三、命题Ⅴ的简略说明

命题Ⅵ是哥德尔论文的核心,恐怕至少得一篇博文的篇幅才有可能理出个头绪。好在第5个命题Ⅴ的描述相对简单,争取在奥运开幕式前弄成这个说明。这个同样多灾多难的东京奥运,似乎要是因为对于字符的偏爱而错过,很是有点得不偿失,所以这个博文把这个短短的命题5说明搞掂。
东京奥运会馆
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命题5是在说明什么呢:它是在说明两种正相反对的关系序列所导出的结果(3)和结果(4)。
哥德尔没有给出详细的证明,但给出了一个证明的概要思路。因为我们是为所有形如x1=Φ(x2,…xn)的关系R(x1,x,…xn)给出证明,而这里的Φ是递归关系,所以就可以运用数学归纳法于Φ的度,即哥德尔在前就定义过的,公式Φ的最小序列长度。对于一度的Φ,(3)和(4)显然成立。若Φ为m度,借助代入和递归定义,也容易证明(3)和(4)成立。
有了这个命题5,不可判定性定理就来到了我们面前,这就是哥德尔原著中的命题6.对于这个命题6的证明,且留待下篇。

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