我看到了它，却不敢相信它。 ——康托尔 哥德尔的不完备性定理震撼了20世纪数学界的天空，其数学意义颠覆了希尔伯特的形式化数学的宏伟计划，其哲学意义直到21世纪的今天仍然不断被延伸到各个自然学科，深刻影响着人们的思维。图灵为了解决希尔伯特著名的第十问题而提出有效计算模型，进而作出了可计算理论和现代计算机的奠基性工作，著名的停机问题给出了机械计算模型的能力极限，其深刻的意义和漂

哥德尔不完备性原理是由奥地利数学家哥德尔于1931年提出的。该原理指出，任何一个包含基本算术的形式化系统，无法同时满足以下三个条件： 1、完备性 对于系统中的每一个陈述，都能够证明其真假其中之一。 2、一致性 系统中不存在自相矛盾的陈述，也就是说，系统中不可能同时存在一个陈述及其否定。 3、可判定性 系统中的每一个陈述都可以通过有限步骤的推理得到结果。 哥德尔不完备性的本质在

哥德尔的证明过程 背景 之前几节阐述了哥德尔证明的一个背景，具体脉络是，当人们在推进公理化系统时，遇到的一个核心问题：如何证明一个公理化系统是无矛盾的。人们一开始想出了模型法，即如果一个完全形式化的系统在现实中找到一个存在的模型可以对应，那么可以认为这个系统是一致的。这实际上是在模型和公理系统中做了一个一一映射，如果公理系统不一致，那么这个模型也不可能存在于现实或逻辑中。 模型法只对有穷元素

前言 追问一个公理系统的一致性，我们知道一个模型法，即从现实经验中找到一个模型，能将所有公理映射成此模型的真陈述，但很多系统模型是无穷的，比如想检验“空间中两点能确定一条直线”这个欧氏几何公理在空间模型中的陈述，需要检验所有无穷多的点，这显然不可能做到，这是模型法的固有缺陷。数学家也在尝试建立公理一致性的其他方法。 希尔伯特的方法：一致性的绝对证明 模型法可以视为一种相对证明方法，它将公理体

前言 从第一次了解到哥德尔不确定性原理时，我就被此定理的内涵和意义所吸引，也对这个定理的证明过程充满兴趣，最近闲暇时，买了这本《哥德尔证明》的书，希望理解这个意义重大的数学定理的核心，在此做一个阅读笔记。 背景 提哥德尔不确定性原理就不得不追溯到一个古老且优美的数学思想“公理化方法”，公理化方法最早来自于古希腊的欧氏几何，欧几里得通过五条公理或公设，再加上对点线面这些概念的定义，运用逻辑推理

哥德尔命题5-命题11的两个图表 水灾 奥运——哥德尔读后之十六 刚刚感叹一番全球天灾，完成一篇哥德尔阅读的对比图表文。休憩转换一下阅读奇怪字符的神经，听听音乐，看看美图。这几天，重又走进哥德尔之际，历史的聚焦镜头，一下子从遥远的西欧洪灾折转到了老家的邻省河南。西欧的洪水恐怕还没有退尽，在河南郑州，还有河南很大范围的城镇，却似乎是碰到了千年未遇的水难。真不知道这个世界怎么啦，可怜地铁隧道中，沉没