如何理解傅立叶级数公式

本篇为《信号处理》系列博客的第二篇，该系列博客主要记录信号处理相关知识的学习过程和自己的理解，方便以后查阅。

文章原地址：《如何理解傅立叶级数公式？》

本文会对公式进行细节的、代数上的解释。

1 对周期函数进行分解的猜想

拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图中，黑色的斜线就是周期为$2\pi$的函数，而红色的曲线是三角函数之和，可以看出两者确实近似：

而另外一位数学家：

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。

2 分解的思路

假设$f(x)$是周期为$T$的函数，傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和，使之等于$f(x)$？

2.1 常数项

对于$y=C,C\in \mathbb{R}$这样的常数函数：

根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，周期为任意实数。

所以，分解里面得有一个常数项。

2.2 通过sin(x),cos(x)进行分解

首先，$sin(x),cos(x)$是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数。

其次，它们的微分和积分都很简单。

然后，$sin(x)$是奇函数，即：

从图像上也可以看出，sin(x)关于原点对称，是奇函数：

而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数，即：
$$f_{\text{odd}}\pm f_{\text{odd}}=f_{\text{odd}}$$

其中，$f_{\text{odd}}$表示奇函数。

而$cos(x)$是偶函数，即：
$$cos(x)=cos(-x)$$

从图像上也可以看出，cos(x)关于Y轴对称，是偶函数：

同样的，偶函数与偶函数加减只能得到偶函数，即：
$$f_{\text{even}}\pm f_{\text{even}}=f_{\text{even}}$$

其中，$f_{\text{even}}$表示偶函数。

但是任意函数可以分解和奇偶函数之和：
$$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f_{\text{even}}+f_{\text{odd}}$$

所以同时需要sin(x),cos(x)。

2.3 保证组合出来周期为T

之前说了，$f(x)$是周期为$T$的函数，我们怎么保证组合出来的函数周期依然为$T$呢？

比如下面这个函数的周期为$2\pi$：

很显然，$sin(x)$的周期也是$2\pi$：

$sin(2x)$的周期也是$2\pi$，虽然最小周期是$\pi$：

很显然，$sin(nx),n\in \mathbb{N}$的周期都是$2\pi$：

更一般的，如果$f(x)$的周期为$T$，那么：
$$sin(\frac{2\pi n}{T}x)cos(\frac{2\pi n}{T}x),n\in \mathbb{N}$$

这些函数的周期都为$T$。

将这些函数进行加减，就保证了得到的函数的周期也为$T$。

2.4 调整振幅

现在我们有一堆周期为$2\pi$的函数了，比如说$sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)$：

通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如$sin(x)$看起来处处都比目标函数低一些：

把它的振幅增加一倍：

$2sin(x)$有的地方超出去了，从周期为$2\pi$的函数中选择一个，减去一点：

调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：

2.5 小结

综上，构造出来的三角函数之和大概类似下面的样子：

这样就符合之前的分析：
\quad\quad 1.有常数项
\quad\quad 2.奇函数和偶函数可以组合出任意函数
\quad\quad 3.周期为$T$
\quad\quad 4.调整振幅，逼近原函数

之前的分析还比较简单，后面开始有点难度了。即怎么确定这三个系数：
$$C{a}_n{b}_n$$

3 $sin(x)$的另外一种表示方法

直接不好确定，要迂回一下，先稍微介绍一下什么是：$e^{i\omega t}$？

3.1 $e^{i\omega t}$

看到类似于$e^{i\theta }$这种就应该想到复平面上的一个夹角为$\theta$的向量：

那么当$\theta$不再是常数，而是代表时间的变量$t$的时候：
$$e^{i\theta }\to e^{it}$$

随着时间$t$的流逝，从0开始增长，这个向量就会旋转起来，$2\pi$秒会旋转一圈，也就是$T=2\pi$：

3.2 通过e^{i\omega t}表示sin(t)

根据欧拉公式，有：
$$e^{it}=cos(t)+isin(t)$$

所以，在时间t轴上，把$e^{it}$向量的虚部（也就是纵坐标）记录下来，得到的就是$sin(t)$：

在时间$t$轴上，把$e^{i2t}$向量的虚部记录下来，得到的就是$sin(2t)$：

如果在时间$t$轴上，把$e^{it}$的实部（横坐标）记录下来，得到的就是$cos(t)$的曲线：

更一般的我们认为，我们具有两种看待$sin(x),cos(x)$的角度：
$$e^{i\omega t}⟺\{\begin{array}{l}sin(\omega t)\\ cos(\omega t)\end{array}$$

这两种角度，一个可以观察到旋转的频率，所以称为频域；一个可以看到流逝的时间，所以称为时域：

4 通过频域来求系数

4.1 函数是线性组合

假设有这么个函数：
$$g(x)=sin(x)+sin(2x)$$

是一个$T=2\pi$的函数：

如果转到频域去，那么它们是下面这个复数函数的虚部：
$$e^{it}+e^{i2t}$$

先看看$e^{i\theta }+e^{i2\theta }$，其中$\theta$是常数，很显然这是两个向量之和：

现在让它们动起来，把$\theta$变成流逝的时间$t$，并且把虚部记录下来：

我们令：
$$G(t)=e^{it}+e^{i2t}$$

这里用大写的$G$来表示复数函数。

刚才看到了，$e^{it}$和$e^{i2t}$都是向量，所以上式可以写作：
$$\overrightarrow{G(t)}=\overrightarrow{e^{it}}+\overrightarrow{e^{i2t}}$$

这里就是理解的重点了，从线性代数的角度：
\quad\quad 1.$e^{it}$和$e^{i2t}$是基（可以参考无限维的希尔伯特空间）
\quad\quad 2.$G(t)$是基$e^{it}$,$e^{i2t}$的线性组合

$g(t)$是$G(t)$的虚部，所以取虚部，很容易得到：
$$\overrightarrow{g(t)}=\overrightarrow{sin(t)}+\overrightarrow{sin(2t)}$$

即$g(t)$是基$sin(t),sin(2t)$的线性组合。

那么$sin(t),sin(2t)$的系数，实际上是$g(t)$在基$sin(t),sin(2t)$下的坐标了。

4.2 如何求正交基的坐标

有了这个结论之后，我们如何求坐标？

我们来看个例子，假设：
$$\overrightarrow{w_{}}=2\overrightarrow{u_{}}+3\overrightarrow{v_{}}$$

其中$\overrightarrow{u_{}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{v_{}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$

通过点积
$$\overrightarrow{u_{}}\cdot \overrightarrow{v_{}}=0$$

可知这两个向量正交，是正交基。图示如下：

通过点积可以算出$\overrightarrow{u_{}}$的系数（对于正交基才可以这么做）：
$$\frac{\overrightarrow{w_{}}\cdot \overrightarrow{u_{}}}{\overrightarrow{u_{}}\cdot \overrightarrow{u_{}}}=\frac{(1,5)\cdot (-1,1)}{(-1,1)\cdot (-1,1)}=2$$

4.3 如何求sin(nt)基下的坐标

在这里抛出一个结论（可以参考无限维的希尔伯特空间），函数向量的点积是这么定义的：
$$\overrightarrow{f(x)}\cdot \overrightarrow{g(x)}={\int }_0^{T}f(x)g(x)dx$$

\quad\quad 其中，$f(x)$是函数向量，$g(x)$是基，$T$是$f(x)$的周期。

那么对于：
$$g(x)=sin(x)+sin(2x)$$

\quad\quad 其中，$g(x)$是向量，$sin(t),sin(2t)$是基，周期$T=2\pi$。

根据刚才内积的定义：
$$\overrightarrow{sin(t)}\cdot \overrightarrow{sin(2t)}={\int }_0^{2\pi }sin(t)sin(2t)dt=0$$

所以是正交基，那么根据刚才的分析，可以这么求坐标：
$$\frac{\overrightarrow{g_{}}\cdot \overrightarrow{sin(t)}}{\overrightarrow{sin(t)}\cdot \overrightarrow{sin(t)}}=\frac{{\int }_0^{2\pi }g(x)sin(x)dx}{{\int }_0^{2\pi }si{n}^2(x)dx}=1$$

4.4 更一般的

对于我们之前的假设，其中$f(x)$周期为$T$：
$$f(x)=C+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(\frac{2\pi n}{T}x)+b_{n}sin(\frac{2\pi n}{T}x)\right),C\in \mathbb{R}$$

可以改写为这样：
$$f(x)=C\cdot 1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(\frac{2\pi n}{T}x)+b_{n}sin(\frac{2\pi n}{T}x)\right),C\in \mathbb{R}$$

也就是说向量$f(x)$的基为：
{ 1 , c o s ( 2 π n T x ) , s i n ( 2 π n T x ) } \{1,cos({\frac{2\pi n}{T}x}),sin({\frac{2\pi n}{T}x})\} {1,cos(T2πn​x),sin(T2πn​x)}

是的，1也是基。

那么可以得到：
$$a_n=\frac{{\int }_0^{T}f(x)cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx}{{\int }_0^{T}co{s}^2(\frac{2\pi n}{T}x)dx}=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(x)cos(\frac{2\pi n}{T}x)dx$$

$$b_n=\frac{{\int }_0^{T}f(x)sin(\frac{2\pi n}{T}x)dx}{{\int }_0^{T}si{n}^2(\frac{2\pi n}{T}x)dx}=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(x)sin(\frac{2\pi n}{T}x)dx$$

C也可以通过点积来表示，最终我们得到：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (\frac{2\pi nx}{T})+b_n\sin (\frac{2\pi nx}{T})\right)$$

其中：