最小二乘法（求距点集中的所有点距和最小得直线方程）

本文主要是介绍最小二乘法（求距点集中的所有点距和最小得直线方程），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

参考博客：https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81127117

最小二乘法的应用：

考虑一个问题：给你二维平面中n个点的坐标(xi, yi)，求一条直线，使所有点到这条直线的距离之和最小。

最小二乘法就是解决此类问题的。

步骤：

设要求的直线的参数方程为 $f(x) = ax+b$ ，要求的结果是 $S = \sum_{i=1}^{n} (f(x)-y_{i})^{2} = \sum_{i=1}^{n} (ax_{i}+b-y_{i})^{2}$ ，未知量有两个为a和b

要使S最小，由二元微分方程可知，满足下列条件时函数取最小值：

$f_{a}^{`}(a, b) = \frac{\partial S }{\partial a} = 2\sum (ax_{i}+b-y_{i})x_{i} = 2(a\sum x_{i}^{2} + b\sum x_{i} - \sum x_{i} y_{i}) = 0$

$f_{b}^{`}(a, b) = \frac{\partial S }{\partial b} =2 \sum (ax_{i}+b-y_{i}) = 2(a\sum x_{i} + b\sum 1 - \sum y_{i} ) = 0$

等价于下面的式子：

$Cx+Ay-D=0 (C = \sum x_{i}^{2},A=\sum x_{i} ,D = \sum x_{i}y_{i})$

$Ax + Ny - B = 0 (A=\sum x_{i} ,N = n, B = \sum y_{i})$

解得：

$x = \frac{AB-ND}{A^2 - NC}$ ， $y = \frac{AD-BC}{A^2-NC}$

即直线表达式为： $f(x) = \frac{AB-ND}{A^2 - NC}x +\frac{AD-BC}{A^2-NC}$

扩展：

若点集不变也可求使得距离之和最小得二次曲线方程，只是求偏微分方程时略有不同。

也可将点击扩展到三位空间，二元偏微分方程扩展成三元。同理也可扩展到n维，此时就要借用线性代数求解。

代码：

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1005;struct P{double x, y;P(){}P(double _x, double _y){x = _x; y = _y;}
};
int main(){int n; P a[N];while(cin >> n){for(int i=1; i<=n; i++) cin >> a[i].x >> a[i].y;double A, B, C, D;A = B = C = D = 0;for(int i=1; i<=n; i++){A += a[i].x; B += a[i].y;C += a[i].x*a[i].x;D += a[i].x*a[i].y;}//printf("A=%f B=%f C=%f D=%f\n", A, B, C, D);printf("y = %fx + %f\n", (A*B-n*D)/(A*A-n*C), (A*D-B*C)/(A*A-n*C));}
}

这篇关于最小二乘法（求距点集中的所有点距和最小得直线方程）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！