期权定价模型系列【1】—BSM通用式模型

2023-10-25 03:40
文章标签 通用 模型 系列 期权 定价 bsm

本文主要是介绍期权定价模型系列【1】—BSM通用式模型，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

这是期权定价模型专栏的第一篇文章，此专栏旨在分享一些期权定价模型，将会从最基础的BSM模型开始写起，逐步扩散到蒙特卡洛模拟、二叉树等数值法模型，以及跳跃扩散模型、随机波动率模型，神经网络模型等等。


如果你觉得有帮助，不妨点赞收藏支持一下哦。

1.前言


1973年BSM模型首次发表后便很快被应用到了金融市场中。交易商用BSM模型对期权进行定价，并进一步推动了期权在不同市场上的应用。自BSM模型开始，市场首次找到了理论上可靠的期权定价模型，这大大推动了整个期权市场的发展，反过来也促进了标的资产市场的定价和流动性。
在某种意义上，BSM模型确实是个奇迹：它使得你可以用一种非常理性的方法来给证券定价，在此之前，根本没有一个合理的或者站得住脚的定价理论。一个完全理想化的世界中（假设回报服从正态分布，股票价格服从几何布朗运动规律，具有充沛的流动性，可以进行持续套期保值，并且没有交易成本），BSM模型提供了一种动态复制期权的方法。这是一个在想象世界中工程学方法所创造的杰作，只是这个世界并不存在，因为市场并不总是服从所有的假设条件。这确实是个奇迹，但是它也只是一个模型，并不是实际情况。


当然，BSM模型所要求的假设条件非常严苛：假设标的资产的回报服从正态分布、价格服从几何布朗运动、市场始终可以提供充沛的流动性、可以进行无成本的连续对冲交易等。在真实的市场中，这些假设条件有一些可以近似满足，还有一些就相距甚远。比如，交易成本和连续对冲，可以通过调整假设条件来实现。还有一些，比如股票价格变动的模式，就很难服从几何布朗运动的假设。在现实中，股票价格经常会出现跳跃，整体分布呈现肥尾，甚至波动率也会出现完全无法预计的变动，这些条件就很难通过调整假设条件来解决。

2.静态复制

首先，通过期权定义可以很容易得到一个普通欧式看涨期权与看跌期权在到期日的合约价值为：

 那么，假设投资者买入一个欧式看涨期权，同时卖出一个行权价相同的欧式看跌期权，那么无论到期日股票的最终价格是多少，投资者能获得收益都是确定的：（ST-K）。

更进一步，假设股票在未来没有分红。在到期日之前的某个时间t，如果投资者按照当前价格St买入一份标的股票，同时卖出Ke-r（T-t）份无风险债券，那么在T时刻，这个组合的价值就是（ST-K）。根据一价定律可知，一个是买入欧式看涨期权，同时卖出行权价相等的欧式看跌期权，一个是买入股票，同时卖出无风险债券，这两者当前的价格应该是相等的，即为：

通过对上式两边进行移项，要复制一个看涨期权只需要一个行权价和到期日都相同的看跌期权、标的股票以及无风险债券。要复制一个看跌期权，只需要一个行权价格和到期日都相同的看涨期权、标的股票以及无风险债券

3.模型推导

运用复制的方法进行估值是整个布莱克-斯科尔斯-默顿（BSM）期权定价模型的理论基础。在推导BSM模型的时候，需要进行一系列的理论假设：标的股票价格的变化是连续的，波动率为常数并且没有价格跳跃（单因子布朗运动）；交易员可以通过大额多头或空头头寸进行持续对冲；没有买卖差价；没有交易成本；可以自主决定头寸调整。

假设在t时刻，某股票的价格为S，其波动率为常数σS，预期回报为μS。同时，还存在一只无风险债券，其价格为B，收益率假设为常数r。股票和债券的随机价格服从：

其中，dZ服从标准维纳过程。以该股票为标的资产的看涨期权在t时刻的价格C，是一个跟股票价格和时间相关的变量。根据伊藤引理，C的价格等于：

 

其中有：

 

将S和C的头寸结合在一起，构建一个持续的无风险组合，消除该风险变量。令π=αS+C，其中α表示在t时刻对冲期权风险所需的股票数量。那么就有：

 

要使这个组合保持瞬时无风险，随机变量dZ的协方差就必须要等于0。也就是：

 

其中：

 

由于这个组合在t时刻也是无风险的，根据一价定律，在t时刻其收益率也应该是无风险利率r，所以就有：

 

 

在对冲组合中，这相当于：

进行移项调整后有：

 

 

看涨期权和标的股票的瞬时夏普比率相等。如果不存在无风险套利的机会，那么对股票和期权来说，每单位波动率对应的超额回报是相等的。这也是布莱克和斯科尔斯最开始在推导BSM等式时提出的观点。继续进行计算，替换μC和σC有：

可得BSM模型的偏微分方程式：

 

 4.BSM模型

BSM模型是由Black和Scholes推导出来的可以被用于到期前不分红的欧式股票期权的估值模型，假定c和p分为代表欧式看涨与欧式看跌期权的价格，则期权的定价公式为： 

 

参数释义如下：

 

 

5.股指期权定价模型

 Merton将BS模型扩展到允许支付连续股息的情景，这一模型可以用于支付已知连续股息率q的股票或者股指的欧式看涨、欧式看跌期权的定价问题。

6.期货期权定价模型

 Black在1976年给出了用于为标的资产为远期或者期货合约定价的欧式看涨、欧式看跌期权定价模型，假设标的资产价格为F。

7.权利金计息的期货期权定价模型

 Asay修改了权利金计息的Black76期货期权定价模型：

 

8.外汇期权定价模型

Garman和Kohlhagen修改了BS模型，使之可以用于欧式外汇期权的定价：

9.广义的BSM期权定价模型

 如果引入一个持有成本率b，则BSM模型能够被一般化，这个模型可以用于定价标的为无股息股票、连续支付股息的股票、期货、外汇的欧式期权：

b=r时为1973年提出的无股息欧式期权定价模型；

b=r-q时为merton在1973年提出的连续股利欧式期权定价模型；

b=0时为black在1976年提出的期货期权定价模型；

b=0且r=0时为Asay在1982年提出的权利金计息下的期货期权定价模型；

b=r-rf时为外汇期权定价模型。

10.代码部分

import numpy as np
from scipy.stats import normclass BSM_Model:def __init__(self,S,K,T,sigma,r,b,opt):self.S=Sself.K=Kself.T=Tself.sigma=sigmaself.r=rself.b=bself.opt=optdef d1(self):return (np.log(self.S/self.K)+(self.b+self.sigma**2/2)*self.T)/(self.sigma*np.sqrt(self.T))def d2(self):return self.d1()-self.sigma*np.sqrt(self.T)def option_value(self):if self.opt=='call':value=self.S*np.exp((self.b-self.r)*self.T)*norm.cdf(self.d1())-self.K*np.exp(-self.r*self.T)*norm.cdf(self.d2())else:value = -self.S * np.exp((self.b - self.r) * self.T) * norm.cdf(-self.d1()) + self.K * np.exp(-self.r * self.T) * norm.cdf(-self.d2())return value

 例1：

结果为：欧式看涨期权价格为2.1333684449162007

if __name__=='__main__':#b=r时为1973年提出的无股息欧式期权定价模型# eg：S=60K=65T=0.25r=0.08sigma=0.3b=ropt='call'call=BSM_Model(S,K,T,sigma,r,b,opt).option_value()print('欧式看涨期权价格为%s'%(call))

例2：

 结果为：欧式看跌期权价格为2.4647876467558305

if __name__=='__main__':#b=r-q时为merton在1973年提出的连续股利欧式期权定价模型S=100K=95T=0.5r=0.1q=0.05sigma=0.2b=r-qopt='put'put=BSM_Model(S,K,T,sigma,r,b,opt).option_value()print('欧式看跌期权价格为%s'%(put))

例3：

结果为：看跌期货期权价格为1.7010507252362679

if __name__=='__main__':#b=0时为black在1976年提出的期货期权定价模型F = 19K = 19T = 0.75r = 0.1sigma = 0.28b = 0opt = 'put'put = BSM_Model(F, K, T, sigma, r, b, opt).option_value()print('看跌期货期权价格为%s' % (put))

 例4：

结果为：看跌期货期权价格为65.61854211535751

if __name__=='__main__':#b=0且r=0时为Asay在1982年提出的权利金计息下的期货期权定价模型F = 4200K = 3800T = 0.75r =0sigma = 0.15b = 0opt = 'put'put = BSM_Model(F, K, T, sigma, r, b, opt).option_value()print('看跌期货期权价格为%s' % (put))

 例5：

结果为：看涨外汇权价格为0.02909925314943973

if __name__=='__main__':#b=r-rf时为外汇期权定价模型S = 1.56K = 1.6T = 0.5r = 0.06rf=0.08sigma = 0.12b = r-rfopt = 'call'call = BSM_Model(S, K, T, sigma, r, b, opt).option_value()print('看涨外汇权价格为%s' % (call))

 

这篇关于期权定价模型系列【1】—BSM通用式模型的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！


http://www.chinasem.cn/article/279788。

相关文章

Spring Security 从入门到进阶系列教程

Spring Security 从入门到进阶系列教程

Spring Security 入门系列 《保护 Web 应用的安全》 《Spring-Security-入门（一）：登录与退出》 《Spring-Security-入门（二）：基于数据库验证》 《Spring-Security-入门（三）：密码加密》 《Spring-Security-入门（四）：自定义-Filter》 《Spring-Security-入门（五）：在 Sprin
阅读更多...
大模型研发全揭秘：客服工单数据标注的完整攻略

大模型研发全揭秘：客服工单数据标注的完整攻略

在人工智能（AI）领域，数据标注是模型训练过程中至关重要的一步。无论你是新手还是有经验的从业者，掌握数据标注的技术细节和常见问题的解决方案都能为你的AI项目增添不少价值。在电信运营商的客服系统中，工单数据是客户问题和解决方案的重要记录。通过对这些工单数据进行有效标注，不仅能够帮助提升客服自动化系统的智能化水平，还能优化客户服务流程，提高客户满意度。本文将详细介绍如何在电信运营商客服工单的背景下进行
阅读更多...
Andrej Karpathy最新采访：认知核心模型10亿参数就够了，AI会打破教育不公的僵局

Andrej Karpathy最新采访：认知核心模型10亿参数就够了，AI会打破教育不公的僵局

夕小瑶科技说 原创  作者 | 海野 AI圈子的红人，AI大神Andrej Karpathy，曾是OpenAI联合创始人之一，特斯拉AI总监。上一次的动态是官宣创办一家名为 Eureka Labs 的人工智能+教育公司 ，宣布将长期致力于AI原生教育。 近日，Andrej Karpathy接受了No Priors（投资博客）的采访，与硅谷知名投资人 Sara Guo 和 Elad G
阅读更多...
Retrieval-based-Voice-Conversion-WebUI模型构建指南

Retrieval-based-Voice-Conversion-WebUI模型构建指南

一、模型介绍 Retrieval-based-Voice-Conversion-WebUI（简称 RVC）模型是一个基于 VITS（Variational Inference with adversarial learning for end-to-end Text-to-Speech）的简单易用的语音转换框架。 具有以下特点 简单易用：RVC 模型通过简单易用的网页界面，使得用户无需深入了
阅读更多...
科研绘图系列：R语言扩展物种堆积图（Extended Stacked Barplot）

科研绘图系列：R语言扩展物种堆积图（Extended Stacked Barplot）

介绍 R语言的扩展物种堆积图是一种数据可视化工具，它不仅展示了物种的堆积结果，还整合了不同样本分组之间的差异性分析结果。这种图形表示方法能够直观地比较不同物种在各个分组中的显著性差异，为研究者提供了一种有效的数据解读方式。 加载R包 knitr::opts_chunk$set(warning = F, message = F)library(tidyverse)library(phyl
阅读更多...
透彻！驯服大型语言模型（LLMs）的五种方法，及具体方法选择思路

透彻！驯服大型语言模型（LLMs）的五种方法，及具体方法选择思路

引言 随着时间的发展，大型语言模型不再停留在演示阶段而是逐步面向生产系统的应用，随着人们期望的不断增加，目标也发生了巨大的变化。在短短的几个月的时间里，人们对大模型的认识已经从对其zero-shot能力感到惊讶，转变为考虑改进模型质量、提高模型可用性。 「大语言模型(LLMs)其实就是利用高容量的模型架构（例如Transformer）对海量的、多种多样的数据分布进行建模得到，它包含了大量的先验
阅读更多...
图神经网络模型介绍（1）

图神经网络模型介绍（1）

我们将图神经网络分为基于谱域的模型和基于空域的模型，并按照发展顺序详解每个类别中的重要模型。 1.1基于谱域的图神经网络         谱域上的图卷积在图学习迈向深度学习的发展历程中起到了关键的作用。本节主要介绍三个具有代表性的谱域图神经网络：谱图卷积网络、切比雪夫网络和图卷积网络。 （1）谱图卷积网络 卷积定理：函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积，即F{f*g}
阅读更多...
秋招最新大模型算法面试，熬夜都要肝完它

秋招最新大模型算法面试，熬夜都要肝完它

💥大家在面试大模型LLM这个板块的时候，不知道面试完会不会复盘、总结，做笔记的习惯，这份大模型算法岗面试八股笔记也帮助不少人拿到过offer ✨对于面试大模型算法工程师会有一定的帮助，都附有完整答案，熬夜也要看完，祝大家一臂之力 这份《大模型算法工程师面试题》已经上传CSDN，还有完整版的大模型 AI 学习资料，朋友们如果需要可以微信扫描下方CSDN官方认证二维码免费领取【保证100%免费
阅读更多...
【生成模型系列（初级）】嵌入（Embedding）方程——自然语言处理的数学灵魂【通俗理解】

【生成模型系列（初级）】嵌入（Embedding）方程——自然语言处理的数学灵魂【通俗理解】

【通俗理解】嵌入（Embedding）方程——自然语言处理的数学灵魂 关键词提炼 #嵌入方程 #自然语言处理 #词向量 #机器学习 #神经网络 #向量空间模型 #Siri #Google翻译 #AlexNet 第一节：嵌入方程的类比与核心概念【尽可能通俗】 嵌入方程可以被看作是自然语言处理中的“翻译机”，它将文本中的单词或短语转换成计算机能够理解的数学形式，即向量。 正如翻译机将一种语言
阅读更多...
AI Toolkit + H100 GPU，一小时内微调最新热门文生图模型 FLUX

AI Toolkit + H100 GPU，一小时内微调最新热门文生图模型 FLUX

上个月，FLUX 席卷了互联网，这并非没有原因。他们声称优于 DALLE 3、Ideogram 和 Stable Diffusion 3 等模型，而这一点已被证明是有依据的。随着越来越多的流行图像生成工具（如 Stable Diffusion Web UI Forge 和 ComyUI）开始支持这些模型，FLUX 在 Stable Diffusion 领域的扩展将会持续下去。 自 FLU
阅读更多...

Copyright China编程 23002807@qq.com

沪ICP备2023033072号-2