数学 - 线性代数导论 - #7 向量空间的两种构成方式:列空间与零空间

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线性代数导论 - #7 向量空间的两种构成方式:列空间与零空间

 

在#6中,我们介绍了向量空间的概念,提及了列空间的定义。本节课中,我们将通过对两种特殊向量空间——列空间与零空间的介绍,理解向量空间的两种构成方式。

首先是列空间C(A)。

C(A)指的是由矩阵A中的列向量的线性组合构成的空间。

C(A)是向量空间吗?显然是,因为这个空间构筑的方式就是向量的线性组合,它“天生”就符合向量空间的定义。

这个向量空间C(A)是Rn的子空间,其中n是维数也即每一个列向量的元素数目也即矩阵A的行数。

C(A)有什么用处呢?C(A)与向量b之间的关系可以说明Ax=b的解的存在性。

在#1我们就已经提及,列空间是我们从几何视角研究“Ax=b”的解x的一个基础性概念。所有的解x,也即对A进行线性组合的系数集合,应该能使组合的结果为预设的b。

换言之,对于特定的A,不是任意的b都能使Ax=b有解。只有当向量b包含于C(A)时,Ax=b才有解。

我自己原有的想法中有一个谬误:对于一个含有m个方程n个未知数的线性方程组,只要m<=n,方程组就一定有解?

显然不一定,各个方程之间不能够“相互冲突”。

翻译为线性代数的语言,A中的每一列必须“线性无关”。

线性相关的定义在高数(上)中已经提到了,不再赘述。从列空间的角度来看,如果去掉某一列之后,列空间不发生变化,也即这一列在构筑列空间的过程中没有“贡献”,那么这一列与其它列中的某一列(可能直接成倍数关系)或某两列(可能为两列的和或其它线性组合)线性相关。

矩阵A中的n列线性相关时,C(A)会比相同列数、线性无关的矩阵的列空间更小(也就是列空间无法充满Rn),换言之,使方程有解的b的数量也就更少(Rn中的b不一定位于子空间C(A)中)。故这种情况下对于任意的b方程组不一定有解。

 

其次是零空间N(A)。

N(A)是所有满足“Ax=0”的向量构成的空间。

N(A)是向量空间吗?我们使用封闭性检验来检查。

从N(A)中任取两个元素向量v和向量w,已知Av=Aw=0。

对于数乘结果kv,Akv=kAV=0,故kv仍在N(A)中;

对于加法结果v+w,A(v+w)=Av+Aw=0,故v+w仍在N(A)中。

综上,N(A)是向量空间。

N(A)使用消元算法求得,具体步骤将在之后的学习中介绍。

 

列空间和零空间都是向量空间。但是,这两种向量空间是从相反的方向生成的:

1.列空间:已有向量的线性衍生,这也是上一课#6中我们的思路;

2.零空间:求解出所有符合线性关系式的向量再进行合并,这将是我们进一步讨论Ax=b的思路之一。

它们又是统一的。所谓的向量空间,可以抽象为通过线性关系联系的集合。符合关系与否,等价于在空间内与否。

事实上,抛开向量空间的限定,所有由向量构成的空间,都具有这两种构成思路。

比如,我们讨论所有满足Ax=b的向量x构成的空间。

它是向量空间吗?如果b不是零向量,那显然不是。

那它是什么空间呢?这个问题也将在之后的学习中介绍。

 

线性代数的学习逐渐进入深水区,附上Prof. Strang的金句供君一笑:

转载于:https://www.cnblogs.com/samaritan-z/p/8385639.html

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