Bellman-Ford求解带有负权图的单源最短路径问题

本文参考了书目《算法笔记》

对于一个图如果存在零环、正环，利用Bellman-Ford算法不会影响到最短路径的求解；如果一个图出现了负环，则会导致恶性循环，会导致dis[u]出现负无穷，永远也求解不出来，但如果从源点出发，无法到达负环，则最短路径的求解不会收到影响（不在负环上的dis[u]可以求出确切值，在负环上的点v，标记dis[v]为不可达就行了）

下面是代码：

#include"stdafx.h"
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 500;
const int INF = 1e9;
int Vertexnum, Edgenum, Start;//顶点数、边数、起点
struct node {//结点结构体int v;int weight;
};
vector<node> adj[maxn];//邻接表存储图
int dis[maxn];
bool BellmanFord(int s) {//s为源点fill(dis, dis + maxn, INF);dis[s] = 0;for (int i = 0; i < Vertexnum - 1; i++) {//进行Vertexnum-1次松弛操作，以确保所有的点都松弛到最佳情况for (int u = 0; u < Vertexnum; u++) {//每轮操作都遍历所有的边for (int j = 0; j < adj[u].size(); j++) {int v = adj[u][j].v;int weight = adj[u][j].weight;if (dis[u] + weight < dis[v]) {dis[v] = dis[u] + weight;}}}}//已经松弛完毕，下面进行验证是否还能被松弛，如果还能被松弛，则说明此图存在负环for (int u = 0; u < Vertexnum; u++) {for (int j = 0; j < adj[u].size(); j++) {int v = adj[u][j].v;int weight = adj[u][j].weight;if (dis[u] + weight < dis[v]) {//如果还能被松弛return false;//则此图存在负环，返回false}}}return true;//数组d的所有值已经达到最优
}
int main() {cin >> Vertexnum >> Edgenum >> Start;int start, end, weight;//起点、终点、边权for (int i = 0; i < Edgenum; i++) {cin >> start >> end >> weight;node N;N.v = end;N.weight = weight;adj[start].push_back(N);}bool flag = BellmanFord(Start);if (flag == false) cout << "此图存在负环";else {for (int i = 0; i < Vertexnum; i++) {cout << dis[i] << " ";}}return 0;
}

分析：Bellman-Ford算法需要遍历所有的边，显然使用邻接表会比较方便，时间复杂度为O(VE)，但如果使用邻接矩阵，会使时间复杂度达到O(V的三次方)。时间复杂度O(VE)难免有些高，下节将对Bellman-Ford算法进行优化（即SPFA算法）

思路：可以把源点s作为一棵树的根结点，把其它结点按照最短路径的结点顺序连接，就会生成一棵最短路径树。在短路径树中，从源点（根结点）s到达其余各顶点的路径就是原图中对应的最短路径，且原图和源点一旦确定，最短路径树也就确定了。由于在初始状态下dis[s]为0，因此在接下来的步骤中dis[s]不会被改变（也就是说最短路径树中的第一层的dis值被确定），接着，通过Bellman-Ford算法的第一轮操作之后，最短路径树中的第二层顶点的dis值也会被确定下来，然后进行第二轮操作，于是第三层顶点的dis值也被确定下来，这样计算直到最后一层顶点dis值确定，由于最短路径树的层数不超过V层，因此Bellman-Ford算法的松弛操作不会超过V-1轮

转：

Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。Bellman-Ford算法的流程如下：

给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，

• 数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；
• 以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
  对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
  若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；
• 为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

首先介绍一下松弛计算。如下图：

松弛计算之前，点B的值是8，但是点A的值加上边上的权重2，得到5，比点B的值（8）小，所以，点B的值减小为5。这个过程的意义是，找到了一条通向B点更短的路线，且该路线是先经过点A，然后通过权重为2的边，到达点B。
当然，如果出现以下情况

则不会修改点B的值，因为3＋4>6。

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。

之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。
考虑如下的图：

经过第一次遍历后，点B的值变为5，点C的值变为8，这时，注意权重为－10的边，这条边的存在，导致点A的值变为－2。（8＋ －10＝－2）

第二次遍历后，点B的值变为3，点C变为6，点A变为－4。正是因为有一条负边在回路中，导致每次遍历后，各个点的值不断变小。

在回过来看一下bellman－ford算法的第三部分，遍历所有边，检查是否存在d（v） > d (u) + w(u,v)。因为第二部分循环的次数是定长的，所以如果存在无法收敛的情况，则肯定能够在第三部分中检查出来。比如

此时，点A的值为－2，点B的值为5，边AB的权重为5，5 > -2 + 5. 检查出来这条边没有收敛。

所以，Bellman－Ford算法可以解决图中有权为负数的边的单源最短路径问。

以下是Bellman-Ford代码:

/*
* About:  Bellman-Ford算法
* Author: Tanky Woo
* Blog:   www.WuTianqi.com
*/#include <iostream>
using namespace std;
const int maxnum = 100;
const int maxint = 99999;// 边，
typedef struct Edge{int u, v;    // 起点，重点int weight;  // 边的权值
}Edge;Edge edge[maxnum];     // 保存边的值
int  dist[maxnum];     // 结点到源点最小距离int nodenum, edgenum, source;    // 结点数，边数，源点// 初始化图
void init()
{// 输入结点数，边数，源点cin >> nodenum >> edgenum >> source;for(int i=1; i<=nodenum; ++i)dist[i] = maxint;dist[source] = 0;for(int i=1; i<=edgenum; ++i){cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].weight;if(edge[i].u == source)          //注意这里设置初始情况dist[edge[i].v] = edge[i].weight;}
}// 松弛计算
void relax(int u, int v, int weight)//对边edge（u，v）进行松弛
{if(dist[v] > dist[u] + weight)dist[v] = dist[u] + weight;
}bool Bellman_Ford()
{for(int i=1; i<=nodenum-1; ++i)//执行nodenum-1轮松弛for(int j=1; j<=edgenum; ++j)//松弛所有边relax(edge[j].u, edge[j].v, edge[j].weight);bool flag = 1;// 判断是否有负环路for(int i=1; i<=edgenum; ++i)if(dist[edge[i].v] > dist[edge[i].u] + edge[i].weight){flag = 0;break;}return flag;
}
int main()
{//freopen("input3.txt", "r", stdin);init();if(Bellman_Ford())for(int i = 1 ;i <= nodenum; i++)cout << dist[i] << endl;return 0;
}

补充:
考虑：为什么要循环V-1次？ （V为顶点数）
答：因为最短路径肯定是个简单路径，不可能包含回路的，
如果包含回路，且回路的权值和为正的，那么去掉这个回路，可以得到更短的路径
如果回路的权值是负的，那么肯定没有解了

图有n个点，又不能有回路
所以最短路径最多n-1边

又因为每次循环，至少relax一边
所以最多n-1次就行了

个人补充：（循环n-1轮操作）

第一轮：对所有的边进行松弛操作，在这些松弛了的边里面，肯定能有一边已经松弛到最佳状态（其实是至少有一边）

第二轮：由于第一轮松弛，有一边（这里假设边的终点为u）已经松弛到最佳，那么就有可能导致从u出发使得：dis[u]+weight[u,v]<dis[v]；（和dijkstra算法的思想一样—），那么就令dis[v]=dis[u]+weight[u,v]，这就使得从u出发到达v的这条边松弛到了最佳

第三轮：,,,

,,,

(连锁反应)