【论文01】有限块长度下的隐蔽通信《Covert communication with finite blocklength in AWGN channels》

前记：读了一些论文，个人感觉在隐蔽通信领域贡献比较多的是 Boulat A. Bash 团队和 Shihao Yan 团队。前者首先推导出隐蔽无线通信中的信息理论限制——平方根法则（Square Root Law，SRL），在该领域有着突出的贡献，但是他的文章难度很大，奈何鄙人才疏学浅，以现有的知识难以理解，今后有机会的话会详细介绍他的研究成果。
本文介绍是 Shihao Yan 于 2017 年发表在 IEEE ICC 上的一篇文章，是其早期有关隐蔽通信的研究成果。本文研究了具有有限块长度的 AWGN 信道中的隐蔽通信，他们发现当码字长度 $n=N$ 时，对于最大化隐蔽传输的信息比特量是最佳的，其中 $n$ 是信道使用的实际数量，$N$ 是允许使用的最大信道数量。同时分析了单个信道使用的最大允许传输功率与 $N$ 之前的关系。

论文题目： Covert communication with finite blocklength in AWGN channels
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1. 系统模型

    有关隐蔽通信的基础概念可参考我的上一篇文章，这里直接进入正题，构建模型。

1.1 信道模型

    还是这个经典的三人图（俗话说，三人行必有“我师”。感觉 Willie 就像一个忠实的舔狗，一直在探测他的女神 Alice 有没有在给男神 Bob 偷偷发消息哈哈），好了回到正题，这次要用数学形式来表达传输的信号，并且做一些假设为接下来分析做铺垫，放心，有信号与系统和高数的基础就可以看懂。

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  图1 隐蔽无线通信基本系统模型图

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      假设这三个设备都配备单天线，并且 Alice-Bob 和 Alice-Willie 之间均为 AWGN 信道，Alice 发送 $n$ 个复值信号 $x[i],(i=1,2,...,n)$。而 Willie 收集 $n$ 个观测值来判断 Alice 是否发送了信号。本文考虑码字长度 $n$ 是有限的，并且不大于最大块长度 $N$，即 $n\le N$。AWGN 信道中 Bob 和 Willie 的加性噪声可分别表示为 $r_b[i]$ 和 $r_w[i]$，并且满足 $r_b[i]\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\sigma }_b^2)$, $r_w[i]\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,{\sigma }_w^2)$, 其中 ${\sigma }_b^2$ 和 ${\sigma }_w^2$ 是噪声方差。设 Alice 的信号发射功率为 P = E { ∣ x [ i ] ∣ 2 } P = \mathbb{E}\{|x[i]|^2\} P=E{∣x[i]∣2}。

  1.2 Bob 视角（有效系统吞吐量）

      Bob 观测到的接收符号可表示为：
  $$y_b[i]=x[i]+r_b[i].\text{\hspace{1em}(1)}$$

  实际上，当码字长度有限时，Bob 处的解码错误概率 $\delta$ 不能被忽视，根据文献 [1]，有限码字长度下信道编码速率的近似公式为：
  $$R\approx {\log }_2(1+{\gamma }_b)-\sqrt{\frac{{\gamma }_b({\gamma }_b+2)}{n({\gamma }_b+1{)}^2}}\frac{Q^{-1}(\delta )}{\ln (2)}+\frac{{\log }_2(n)}{2n},\text{\hspace{1em}(2)}$$

  其中 ${\gamma }_b=P/{\sigma }_b^2$，$Q^{-1}()$ 是逆 $Q$ 函数（又称标准正态分布的右尾函数）。因此 Alice 到 Bob 的有效吞吐量定义为：
  $$\eta =nR(1-\delta ),\text{\hspace{1em}(3)}$$

  在隐蔽条件的约束下最大化有效吞吐量是本文的主要目标。

  1.3 Willie 视角（隐蔽约束条件）

      对于一个有效的隐蔽通信系统来说，任意取一个较小的数 $ϵ$ 都必须满足
  $$\xi \ge 1-ϵ,\text{\hspace{1em}(4)}$$

  我们知道对于隐蔽通信来说，Willie 想要尽可能的减小总检测错误概率 $\xi =P_{FA}+P_{MD}$，虚警概率 $P_{FA}$ 是指 Alice 没有发信号，而我检测结果有（狼来了的故事，即虚 “警” 一场）。漏检概率 $P_{MD}$ 是指 Alice 发信号了，但我没检测到，原来是漏掉了。
      那么在 Willie 端可以使用辐射计等设备将接收信号平均符号能量与预设门限进行比较来判断发生了哪种情况，即能量检测。设 $T=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n|y_w(i){|}^2$ 代表 Willie 收到 $n$ 个符号的平均功率，$\Gamma$ 为能量检测的阈值。由于随机变量 $y_w(i)$ 服从高斯分布，那么其平方和 $T$ 服从自由度为 $2n$ 的卡方分布，因此 $P_{FA}$ 和 $P_{MD}$ 可写为：

  $$P_{FA}=\mathrm{P}\mathrm{r}({\mathcal{D}}_1|{\mathcal{H}}_0)=\mathrm{P}\mathrm{r}(T>\Gamma |{\mathcal{H}}_0)=1-\frac{\gamma (n,\frac{n\Gamma }{{\sigma }_w^2})}{\Gamma (n)},\text{\hspace{1em}(5)}$$

  $$P_{MD}=\mathrm{P}\mathrm{r}({\mathcal{D}}_0|{\mathcal{H}}_1)=\mathrm{P}\mathrm{r}(T<\Gamma |{\mathcal{H}}_1)=\frac{\gamma (n,\frac{n\Gamma }{P+{\sigma }_w^2})}{\Gamma (n)}，\text{\hspace{1em}(6)}$$

  然而该不等式涉及到复杂的表达式 $P_{FA}$ 和 $P_{MD}$，因而不容易分析，接下来利用另外一种思路设计一个约束来保证系统的隐蔽性能。用 ${\mathbb{P}}_1={\prod }_{i=1}^{n}f(y_w[i]|{\mathcal{H}}_1)$ 和 ${\mathbb{P}}_0={\prod }_{i=1}^{n}f(y_w[i]|{\mathcal{H}}_0)$ 表示接收信号在 ${\mathcal{H}}_1$ 和 ${\mathcal{H}}_0$ 下的似然函数，根据 [2] 中的检测定理有：
  $$\xi =P_{FA}+P_{MD}=1-{\mathcal{V}}_T({\mathbb{P}}_0,{\mathbb{P}}_1)=1-\frac{1}{2}\Vert {\mathbb{P}}_0-{\mathbb{P}}_1{\Vert }_1,\text{\hspace{1em}(7)}$$

  其中 ${\mathcal{V}}_T({\mathbb{P}}_0,{\mathbb{P}}_1)$ 表示两个概率之间的全变差距离（Total Variation Distance，TVD）。由于数学上直接计算 TVD 有些困难，通常利用 Pinsker 不等式得到它的上界：
  $$\frac{1}{2}\Vert {\mathbb{P}}_0-{\mathbb{P}}_1{\Vert }_1\le \sqrt{\frac{1}{2}\mathcal{D}({\mathbb{P}}_0\Vert {\mathbb{P}}_1)}\text{\hspace{1em}(8)}$$

  $\mathcal{D}({\mathbb{P}}_0\Vert {\mathbb{P}}_1)$ 为 ${\mathbb{P}}_0$ 和 ${\mathbb{P}}_1$ 之间的Kullback-Leibler (KL)散度（也被称为相对熵），结合以上几个式子可以得到衡量隐蔽性能的约束条件：
  $$\mathcal{D}({\mathbb{P}}_0\Vert {\mathbb{P}}_1)\le 2{ϵ}^2,\text{\hspace{1em}(9)}$$

      因此现在的问题就来到了这个相对熵怎么计算，本文直接给出了结果，但是我找到了另外一篇文献的推导过程，利用的是拉格朗日乘子法，具体过程太过繁琐，在此不多赘述，直接上结果
  $$\mathcal{D}({\mathbb{P}}_0\Vert {\mathbb{P}}_1)=n\left[\ln \right(\frac{P+{\sigma }_w^2}{{\sigma }_w^2})-\frac{P}{P+{\sigma }_w^2}],\text{\hspace{1em}(10)}$$

  由不等式 $(8)$ 可知，约束条件 $(9)$ 相比约束条件 $(4)$ 实现起来更加严苛。

  2. 优化问题

      隐蔽通信设计的最终目的是在保证隐蔽需求的前提下实现最大的有效吞吐量。本文的优化变量是码字长度 $n$ 和 Alice 传输功率 $P$

  $$\begin{array}{rl}\underset{n,P}{\max }& \eta ,\\ s.t.& \mathcal{D}({\mathbb{P}}_0\Vert {\mathbb{P}}_1)\le 2{ϵ}^2，\\ & n\le N,\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$

  可以证明当这两个约束取等号时，系统的吞吐量达到最大，因此最优的码字长度为 $n^{\ast }=N$，最优的发射功率为方程$P^{\ast }=(P^{\ast }+{\sigma }_w^2)\left[\ln \right(1+\frac{P^{\ast }}{{\sigma }_w^2})-\frac{2{ϵ}^2}{N}]$ 的解。

  3. 参考文献

  [1] Polyanskiy Y , Poor H V , Verdu S . Channel Coding Rate in the Finite Blocklength Regime[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2010, 56(5):2307-2359.
  [2] E.L. Lehmann. Testing Statistical Hypotheses. Wiley, New York[J]. Biometrics, 1997.