管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——几何——解析几何——记忆

本篇思路：根据各方的资料，比如名师的资料，按大纲或者其他方式，收集/汇总考点，即需记忆点，在通过整体的记忆法，比如整体信息很多，通常使用记忆宫殿法，绘图记忆法进行记忆，针对局部/细节/组成的部分，可通过多种方法，比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。

考点

通过汇总各方大佬资料，作为收集考点/记忆点的信息输入：XX，收集汇总如下：

记忆/考点汇总——按大纲

——点——
两点中点坐标：两点$P_1(x_1,y_1)$与$P_2(x_2,y_2)$的中点坐标为($\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}$)
两点距离公式：两点$A(x_1,y_1)$与$B(x_2,y_2)$之间的距离$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
两点斜率公式：设直线$l$上有两个点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则直线$l$的斜率$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_1\ne x_2)$
——线——
斜率：$k=tan\alpha$，$(\alpha \ne \frac{\pi }{2})$，当$\alpha \in [0,\frac{\pi }{2})$时，$k\in [0,+\infty )$；当$\alpha =\frac{\pi }{2}$时，直线的斜率不存在；当$\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$时，$k\in (-\infty ,0)$。直线的斜率反映了直线对x轴的倾斜程度。
直线方程斜截式：若已知斜率k和y轴截距b，直线可表示为$y=kx+b$
直线方程点斜式：若已知斜率k和某点（$x_0，y_0$），直线可表示$y=y_0+k(x-x_0)$或$\frac{y-y_0}{x-x_0}=k$
直线方程截距式：若已知x轴和y轴截距分别为a，b，直线可表示为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$
直线方程两点式：若已知两点坐标（$x_1,y_1$），（$x_2,y_2$），直线可表示为$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$
直线方程一般式：$ax+by+c=0$——【一次函数】

——距离——
点到直线的距离公式：$l:ax+by+c=0$，点($x_0,y_0$)到$l$的距离为$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
两平行直线之间的距离公式：$l_1:ax+by+c_1=0$；$l_2:ax+by+c_2=0$，那么$l_1$与$l_2$之间的距离为$d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

——位置——
两直线位置关系：斜截式：$l_1:y=k_{1}x+b_1$，$l_2:y=k_{2}x+b_2$
重合：$l_1//l_2$ $⟺$ $k_1=k_2，b_1=b_2$——【重合为两条直线斜率相等且截距相等】
平行：$l_1//l_2$ $⟺$ $k_1=k_2，b_1\ne b_2$——【平行为两条直线斜率相等但截距不相等】
相交：$k_1\ne k_2$——【相交为两条直线的斜率不相等】
垂直：$l_1\perp l_2$ $⟺$ $k_1{k}_2=-1$或者$k_1=0$，$k_2$不存在(l垂直与x轴)——【垂直分两种，一是斜率存在且乘积为-1；二是一条斜率不存在，一条斜率为0，即一条平行x轴，一条平行y轴】

两直线位置关系：一般式：$l_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$，$l_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$
平行：$l_1//l_2$ $⟺$ $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
平行：$l_1//l_2$ $⟺$ $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$
相交：$\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$
垂直：$l_1\perp l_2$ $⟺$ $\frac{a_1}{b_1}\cdot \frac{a_2}{b_2}=-1$ $⟺$ $a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$——【】

点与直线位置关系：点（$x_0,y_0$），直线$l:y=kx+b$
$$y_0=\{\begin{array}{ll}＞k{x}_0+b,& \text{点在直线上方}\\ =k{x}_0+b,& \text{点在直线上}\\ ＜k{x}_0+b,& \text{点在直线下方}\end{array}$$

圆的方程标准式：圆心为（$x_0,y_0$），半径为r的圆可表示为$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$
圆的方程一般式：$x^2+y^2+ax+by+c=0$，可将其配方变为标准式：$(x+\frac{a}{2}{)}^2+(y+\frac{b}{2}{)}^2=\frac{a^2+b^2-4c}{4}$$=\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{4}$

$$\{\begin{array}{ll}{a}^2+b^2-4c＞0,& \text{方程表示一个圆}\\ a^2+b^2-4c=0,& \text{方程表示一个点}\\ a^2+b^2-4c＜0,& \text{方程无意义}\end{array}$$

点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。设点$P(x_0,y_0)$，圆：$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，则有：
$$\{\begin{array}{ll}(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2＜r^2,& \text{点在圆内}\\ (x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2=r^2,& \text{点在圆上}\\ (x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2＞r^2,& \text{点在圆外}\end{array}$$

直线与圆的位置关系：
相切：求圆的切线方程时，常设切线的方程为$Ax+By+C=0$或$y=k(x-a)+b$，再利用点到直线的距离等于半径，即可确定切线方程。过圆$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$上的一点$P(x_0,y_0)$作圆的切线，则切线方程为$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$。若点P在圆外，则上述方程为过点P作圆的两条切线，形成的两个切点所在的直线的方程。
相交：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则直线与圆相交时，直线被圆截得的弦长为$l=2\sqrt{r^2-d^2}$
相离：圆上的点与直线之间的距离问题，一般是求满足条件的点的个数，点的个数通常有4种，为1个点，2个点，3个点，4个点。其中，1个点，3个点的情况是临界点，优先考虑临界点的情况。
坐标：已知圆的一般方程：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，根据此式整理出圆的标准方程为$(x+\frac{D}{2}{)}^2+(y+\frac{E}{2}{)}^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}$，即圆心坐标为（$-\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），半径为$r=\sqrt{\frac{D^2+E^2-4F}{4}}$，故圆与坐标轴的关系为
①圆与x轴相切：圆心纵坐标的绝对值为r，即$|-\frac{E}{2}|=\sqrt{\frac{D^2+E^2-4F}{4}}$
②圆与y轴相切：圆心横坐标的绝对值为r，即$|-\frac{D}{2}|=\sqrt{\frac{D^2+E^2-4F}{4}}$
③圆与坐标轴无交点：圆心纵坐标的绝对值大于r且横坐标的绝对值大于r。
平移：对曲线进行平移，其方程有如下变化：
①曲线$y=f(x)$，向上平移a个单位（$a＞0$），方程变为$y=f(x)+a$；
②曲线$y=f(x)$，向下平移a个单位（$a＞0$），方程变为$y=f(x)-a$；
③曲线$y=f(x)$，向左平移a个单位（$a＞0$），方程变为$y=f(x+a)$；
④曲线$y=f(x)$，向右平移a个单位（$a＞0$），方程变为$y=f(x-a)$。——【歌诀记忆法：上加下减，左加右减】

圆与圆的位置关系：圆$O_1$：$(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=r_1^2$；圆$O_2$：$(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2=r_2^2$（不妨$r_1＞r_2$）；d为圆心$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$的圆心距。
两圆位置关系→公共内切线条数→公共外切线条数：
外离→2→2；外切→1→2；相交→0→2；内切→0→1；内含→0→0。

——图像——
图像的判断
直线过象限题：
两条直线的判断：①若方程$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$所表示的图像是两条直线，则可利用双十字相乘法化为$(A_{1}x+B_{1}y+C_1)(A_{2}x+B_{2}y+C_2)=0$的形式。②$|ax+by|=c$可化简为$ax+by=\pm c$，图像是两条关于原点对称的平行直线。
圆的判断：方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$表示圆的前提为$D^2+E^2-4F＞0$
半圆的判断：若圆的方程为$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，则
①右半圆的方程为$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2(x\ge a)$或者$x=a+\sqrt{r^2-(y-b{)}^2}$；
②左半圆的方程为$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2(x\le a)$或者$x=a-\sqrt{r^2-(y-b{)}^2}$；
③上半圆的方程为$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2(y\ge b)$或者$y=b+\sqrt{r^2-(x-a{)}^2}$；
④下半圆的方程为$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2(y\le b)$或者$y=b-\sqrt{r^2-(x-a{)}^2}$；
四边形的判断：若$|Ax-a|+|By-b|=C$，则当$A=B$时，函数的图像所围成的图形是正方形；当$A\ne B$时，函数的图像所围成的图形是菱形；无论是正方形还是菱形，面积均为$S=\frac{2C^2}{AB}$；$|xy|+ab=a|x|+b|y|$表示$x=\pm b,y=\pm a$的四条直线所围成的矩形，面积为$S=4|ab|$。当$a=b$时，直线所围成的图形是正方形，面积为$S=4a^2$。

——对称——
点关于直线的对称：
点P($x_1，y_1$)关于直线l：$ax+by+c=0$的对称点Q的坐标为($x_2,y_2$)，
方法一：满足两个条件：线段PQ与直线$l$垂直，即线段PQ的斜率与直线l的斜率之积为$-1$；线段PQ的中点在直线$l$上。因此Q的坐标可由以下方程组求得：
$$y_1=\{\begin{array}{l}\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\times (-\frac{a}{b})=-1\\ a\times \frac{x_1+x_2}{2}+b\times \frac{y_1+y_2}{2}+c=0\end{array}$$——【两点连线的斜率×对称直线的斜率=-1且两点的中点在对称直线上】
方法二：$x_2=x_1-2A\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{A^2+B^2}$，$y_2=y_1-2B\frac{A{x}_1+B{y}_1+C}{A^2+B^2}$

直线关于直线的对称：
（1）平行直线的对称
$l_1//l$，因为$l_1$与$l_2$关于$l$对称，由对称的性质易知$l_1//l_2$，且$l$到$l_1$与$l_2$的距离$d_1$与$d_2$相等。
若$l_1$的方程为$ax+by+c_1=0$，$l$的方程为$ax+by+c=0$，则可设$l_2$的方程为$ax+by+c_2=0$，根据距离相等得到$l_2$的方程为：$ax+by+(2c-c_1)=0$——【对称轴到两直线的距离相等，得$2c=c_1+c_2$】
（2）相交直线的对称
方法一：由$l_1\cap l=P$，可求出交点坐标。再找出$l_1$上任意一点（点Р除外）关于$l$对称的点的坐标（用点关于直线对称的方法)，再根据两点式求出直线$l_2$的方程。
方法二：由对称性可知$l_1$到$l$的角与$l$到$l_2$的角相等，且$l_2$过$l_1$与$l$的交点$Р$，由到角公式求出$l_2$的斜率，再求出交点$P$的坐标后，可由点斜式求得直线$l_2$的方程。
（3）直线关于直线对称的万能公式（此公式适用于平行线，相交线两种情况）
已知对称轴$l_0$：$Ax+By+C=0$；已知直线$l_1$：$ax+by+c=0$；则对称直线$l_2$为$\frac{ax+by+c}{Ax+By+C}=\frac{2Aa+2Bb}{A^2+B^2}$

圆关于直线对称：实质是点（圆心）关于直线问题，半径保持不变。
关于特殊直线的对称：已知曲线的方程$f(x,y)=0$
对称轴：直线$x+y+c=0$，对称曲线的方程$f(-y-c,-x-c)=0$——【把原式中的x替换为-y-c，把原式中的y替换为-x-c】
对称轴：直线$x-y+c=0$，对称曲线的方程：$f(y-c,x+c)=0$——【把原式中的x替换为y-c，把原式中的y替换为x+c】
对称轴：x轴（直线y=0），对称曲线的方程：$f(x,-y)=0$——【把原式中的y替换为-y】
对称轴：y轴（直线x=0），对称曲线的方程：$f(-x,y)=0$——【把原式中的x替换为-x】
对称轴：直线$x=a$，对称曲线的方程：$f(2a-x,y)=0$——【把原式中的x替换为2a-x】
对称轴：直线$y=b$，对称曲线的方程：$f(x,2b-y)=0$——【把原式中的y替换为2b-y】
关于点的对称/中心对称：
点关于点对称：使用中点坐标公式求解
直线关于点对称：使用点到两平行线的距离相等求解——两条直线平行
圆关于点对称：使用中点坐标公式求解

——最值——
斜率型最值：求$\frac{y-b}{x-a}$最值：设$k=\frac{y-b}{x-a}$，转化为求定点$(a,b)$和动点$(x,y)$相连所成直线的斜率范围。
截距型最值：求$ax+by$最值：设$ax+by=c$，即$y=-\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$，转化为求动直线截距的最值。
两点间距离型最值：求$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$最值：设$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，此时，要求的式子可看作是圆的半径的平方。由于$d=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$，故所求式子$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$可转化为求定点$(a,b)$到动点$(x,y)$的距离的平方。
对称求最值：①同侧求最小（考查形式：已知A、B两点在直线l的同侧，在l上找一点P，使得PA+PB最小；解法：作点A（或点B）关于直线l的对称点$A_1$，连接$A_{1}B$，交直线l于点P，则$A_{1}B$即为所求的最小值，有$(PA+PB{)}_{min}=A_{1}B$）；②异侧求最大（考查形式：已知A、B两点在直线l异侧，在l上找一点P，使得PA-PB最大；解法：作点A（或点B）关于直线l的对称点$A_1$，连接$A_{1}B$，交直线l于点P，则$A_{1}B$即为所求的最大值，即$(PA-PB{)}_{max}=A_{1}B$）
圆心求最值：①求圆上的点到直线距离的最值求出圆心到直线的距离，再根据圆与直线的位置关系，求解。一般是距离加半径是最大值，距离减半径是最小值。②求两圆上的点的距离的最值。求出圆心距，再减半径或加半径即可。

直线相关面积：直线$ax+by+c=0$与两坐标围成的面积为$S=\frac{c^2}{|2ab|}$——【】

（$x_0,y_0$）是直线$ax+by+c=0$外的一个点，则它到直线的距离d的计算公式为：
$d=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

点到点距离：$|A_1{A}_2|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
点到直线距离：$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
平行直线距离：$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

“点到直线距离公式”$\Rightarrow$“两平行直线距离公式”：

$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$\Rightarrow$$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

已知对称轴$l_0$：$Ax+By+C=0$；已知直线$l_1$：$ax+by+c=0$；则对称直线$l_2$为：
$\frac{ax+by+c}{Ax+By+C}=\frac{2Aa+2Bb}{A^2+B^2}$

整体利用目录大纲/记忆宫殿

目录大纲

借鉴各大佬的目录，分为如下：
分类1：平面直角坐标系、直线方程与圆的方程、两点间距离公式与点到直线的距离公式
分类2：平面直角坐标系、点、直线、圆
分类3：位置问题、面积问题、对称问题、最值问题
分类4：六大位置关系、五大对称关系（点关于点，点关于直线，直线关于点，相交直线对称，平行直线对称）、

圆与圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。

记忆宫殿

学习记忆——宫殿篇——记忆宫殿——地点桩——记忆清朝十二个皇帝

从点出发

通过“点”，从1到无数，逐渐引出知识来，但是只能引出关键字，所以还是要按照这个顺序（从1到无数），放到宫殿来，利用宫殿的物品，勾画出对应精华知识。

一个点：无东西
两个点：中点坐标（算术平均值）、距离公式（勾股定理），对称关系
两点成线→直线：直线方程（斜截，点斜，截距，两点，一般）、位置关系（平行，相交，垂直），
一个点与一条直线（三个点）：距离公式，位置关系，对称关系，
一条直线与一条直线（四个点）：距离公式（两平行直线（相交无距离）），对称关系，
圆（无数点）：圆方程（标准式，一般式）
一个点与一个圆（1+无数点）：位置关系，对称关系
一条直线与一个圆（2+无数点）：位置关系，对称关系
一个圆与一个圆（无数+无数点）：位置关系，对称关系

局部用各种方法

数字编码法

学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码和字母编码——两位数
学习记忆——英语——字母编码
学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码——数字声母

1. 特殊角度的正切值
   
   转换图像法
   

2. 两圆位置关系：外离，外切，相交，内切，内含
   （1）公共内切线条数：2，1，0，0，0
   （2）公共外切线条数：2，2，2，1，0

0呼啦圈；1树，蜡烛；2鹅；

0是D；1是Y；2是Z。

注意，顺序是：从外到内，最最重要的，职业道德的两个呼啦圈。
外离，外切，相交，内切，内含
外：22210，zzzyd，最最重要的
内：21000，zyddd，职业道德的

归类记忆法

数学知识有一个最显著的特点，就是系统性很强。数学知识之间有着内在的联系，我们可以按照它们的特性，恰当归类，使之条理化、系统化，组成一个便于记忆的知识网络。

重点记忆法

抓住一个重点，去推导，去联想。

歌决记忆法

1. 平移问题：上加下减，左加右减 $\Rightarrow$
   （1）曲线$y=f(x)$，向上平移α个单位（a>0），方程变为$y=f(x)＋a$；
   （2）曲线$y=f(x)$，向下平移α个单位（a>0），方程变为$y=f(x)-a$；
   （3）曲线$y=f(x)$，向左平移α个单位（a>0)，方程变为$y=f(x+a)$；
   （4）曲线$y=f(x)$，向右平移α个单位（a>0)，方程变为$y=f(x-a)$。

2. 对称求最值：同侧加和求最小值，异侧相减求最大值。

3. 垂径定理：有弦先连弦心距，垂直平分用勾股。

转图像记忆法

https://blog.csdn.net/stqer/article/details/132844326

找出规律法

$\sqrt{x}$相关公式

点到点距离：$|A_1{A}_2|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
点到直线距离：$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
平行直线距离：$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

特殊对称

内外切线

直线方程

直线对称万能公式

已知对称轴$l_0$：$Ax+By+C=0$；已知直线$l_1$：$ax+by+c=0$；则对称直线$l_2$为：
$\frac{ax+by+c}{Ax+By+C}=\frac{2Aa+2Bb}{A^2+B^2}$

直线与直线的位置关系

原理推导法

“点到直线距离公式”$\Rightarrow$“两平行直线距离公式”：

$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$\Rightarrow$$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

点

两点中点坐标公式

两点中点坐标公式可以看成是两点坐标的算术平均值。

两点距离公式

两点距离公式是根据平面几何的勾股定理推导出的。

点到直线距离公式

两平行直线的距离

直线关于点的对称

可视化法

管理类联考——数学——可视化篇——代数即几何