深度学习初遇——自己动手实现三层神经网络

介绍

深度学习中，神经网络是最基础的数据结构，本文想自己动手实现一个神经网络，并使用它来对mnist数据集做预测。
本文内容参考了大神塔里克拉希德的著作《Python神经网络编程》，有兴趣的读者可以在网上找到这本书，或联系笔者，笔者免费赠送。

神经网络结构

神经网络的结构想必大家都很熟悉了，看张图吧，这里除了输入层外，其他层每个节点都有激活函数，比如sigmoid或relu等。

这里，权重很重要，在神经网络中，要更新的参数就是权重，而且后面我们会看到，误差的反向传播也要用到当前的权重。每两层之间的权重可以用一个矩阵表示，在理论研究和代码编程时，这很有用。

前馈

前馈的过程是根据输入数据，逐层计算输出值，进而得到输出层的输出值，给定权重（通过优化算法更新前的权重，最开始是按一定规则人为初始化的）和输入值，代入公式即可得到，这个操作很简单，但很重要，后面我们会看到，权重的更新需要用到后一层节点的输出值以及前一层节点的输出值（注意，我们是站在两层之间的地方），从上一小节的图示中，我们很容易有一个形象的感受。

误差的反向传播

我们通过当前权重和输入值计算出了输出值，而且训练数据的目标值是给定的，所以模型的误差也很容易算出来，有了整个模型的误差值，那还要每一层的误差做什么呢？或者为什么要进行误差反向传播呢？误差又是怎么进行反向传播的呢？
后面我们会看到，每一层权重的更新，都要用到下一层的误差值，所以反向传播很有必要，那它怎么传播呢？
如下图所示，一般地，误差会根据当前节点输入连接的权重进行拆分，假如右边节点的输出误差为$e$，左边第一个节点的误差为$er{r}_1=\frac{W_{1,1}}{W_{1,1}+W_{2,1}}\ast e$，左边第二个节点的误差为$er{r}_2=\frac{W_{2,1}}{W_{1,1}+W_{2,1}}\ast e$

多个节点的误差会拆分后叠加到上一层中每一个节点的误差上去，例如下图所示

这时，$er{r}_1=\frac{W_{1,1}}{W_{1,1}+W_{2,1}}\ast e_1+\frac{W_{1,2}}{W_{1,2}+W_{2,2}}\ast e_2$，左边第二个节点的误差为$er{r}_2=\frac{W_{2,1}}{W_{1,1}+W_{2,1}}\ast e_1+\frac{W_{2,2}}{W_{1,2}+W_{2,2}}\ast e_2$
不断重复上述拆分，便可以计算出每一层的输出误差，在实际应用中，通常用权重代替上面公式中的分数部分，即使用$W_{1,1}$代替$\frac{W_{1,1}}{W_{1,1}+W_{2,1}}$，使用$W_{1,2}$代替$\frac{W_{1,2}}{W_{1,2}+W_{2,2}}$，以此类推。这样利用权重矩阵和当前层的输出误差，便可以计算出前一层的误差。

权重更新

在机器学习中，对模型的优化一般采用梯度下降法，这就需要知道误差对更新参数的斜率，在神经网络中，我们需要知道输出误差对每一个权重的斜率。
求导的过程《Python神经网络编程》里面讲的很详细了，这里只给出这个神奇的公式，

这里，每一层的输出误差已经通过误差的反向传播获得，当前的权重是给定的，输出值也可以通过前馈过程获得，所以，误差对权重的斜率也自然可以轻松获得，用矩阵的语言，某两层之间的权重矩阵更新值可以表示为：

本文代码部分摘自《Python神经网络编程》并对其做了注释。

代码

import numpy
import numpy as np
import scipy.special# 神经网络类
class NeuralNetwork:def __init__(self, inodes, hnodes, onodes, learning_rate=0):# 输入层节点数self.inodes = inodes# 隐藏层节点数self.hnodes = hnodes# 输出层节点数self.onodes = onodes# 学习率self.learning_rate = learning_rate# 输入层到隐藏层的权重矩阵# self.wih = np.random.rand(self.hnodes, self.inodes) - 0.5self.wih = np.random.normal(0.0, pow(self.hnodes, -0.5), (self.hnodes, self.inodes))# 隐藏层到输出层的权重矩阵# self.who = np.random.rand(self.onodes, self.hnodes) - 0.5self.who = np.random.normal(0.0, pow(self.onodes, -0.5), (self.onodes, self.hnodes))# 激活函数self.activation_function = lambda x: scipy.special.expit(x)# 前馈def forward(self, input_data):# 输入inputs = np.array(input_data, ndmin=2).T# 隐藏层输入数据hidden_inputs = np.dot(self.wih, inputs)# 隐藏层输出数据hidden_outputs = self.activation_function(hidden_inputs)# 输出层输入数据final_inputs = np.dot(self.who, hidden_outputs)# 输出层输出数据final_outputs = self.activation_function(final_inputs)return final_outputs# 模型训练def train(self, input_data, target_data):# 输入inputs = np.array(input_data, ndmin=2).T# 输入数据标签targets = np.array(target_data, ndmin=2).T# 隐藏层输入数据hidden_inputs = np.dot(self.wih, inputs)# 隐藏层输出数据hidden_outputs = self.activation_function(hidden_inputs)# 输出层输入数据final_inputs = np.dot(self.who, hidden_outputs)# 输出层输出数据final_outputs = self.activation_function(final_inputs)# 输出层误差output_errors = targets - final_outputs# 反向传播至隐藏层的误差hidden_errors = np.dot(self.who.T, output_errors)# 更新隐藏层和输出层的权重矩阵delta_who = np.dot((output_errors * final_outputs * (1.0 - final_outputs)), np.transpose(hidden_outputs))self.who += self.learning_rate * delta_who# 更新输入层和隐藏层的权重矩阵delta_wih = np.dot((hidden_errors * hidden_outputs * (1.0 - hidden_outputs)), np.transpose(inputs))self.wih += self.learning_rate * delta_wihif __name__ == "__main__":# 神经网络模型inodes = 784hnodes = 100onodes = 10model = NeuralNetwork(inodes, hnodes, onodes, 0.3)# 读取训练数据data_file = open("./mnist_dataset/mnist_train.csv")data_set = data_file.readlines()data_file.close()# 对每一项输入数据进行模型训练for record in data_set:all_values = record.split(",")# 对训练数据进行放缩inputs = (numpy.asfarray(all_values[1:]) / 255.0 * 0.99) + 0.01# 对训练数据标签进行编码targets = np.zeros(onodes) + 0.01targets[int(all_values[0])] = 0.99# 训练模型model.train(inputs, targets)# 加载测试数据test_data_file = open("./mnist_dataset/mnist_test.csv", 'r')test_data_list = test_data_file.readlines()test_data_file.close()# 分数卡scorecard = []# 对每一项测试数据进行预测for record in test_data_list:all_values = record.split(',')# 正确的标签correct_label = int(all_values[0])print(correct_label, "correct label")inputs = (numpy.asfarray(all_values[1:]) / 255.0 * 0.99) + 0.01# 用神经网络模型预测outputs = model.forward(inputs)# 取出最大输出值对应的标签索引label = numpy.argmax(outputs)print(label, "network's answer")# 计分卡计数if label == correct_label:scorecard.append(1)else:scorecard.append(0)print(scorecard)# 计算分数scorecard_array = np.asarray(scorecard)print("performance = ", scorecard_array.sum() / scorecard_array.size)

运行结果

performance =  0.9468

作者这水平有限，有不足之处欢迎留言指正