【统计学概念】初学者指南：了解置信区间

二、总体与样本个体统计 

        总体是研究人员想要研究或得出结论的整个群体或一组个人、物体或事件。它可以是人，动物，植物，甚至是无生命的物体，具体取决于研究的背景。总体通常表示完整的可能数据点或观测值集。样本：

        样本是选择进行研究的总体子集。这是一个较小的群体，旨在代表较大的人口。研究人员从样本中收集数据，并用它来推断整个人口。由于从人口的每个成员收集数据通常是不切实际或不可能的，因此样本被用作收集信息的有效且具有成本效益的方法。

2.1 参数与估计

        参数：参数是描述总体特征的数值。参数通常使用希腊字母表示，例如μ （mu） 表示总体均值，σ （sigma） 表示总体标准差。由于通常很难或不可能从整个总体中获取数据，因此参数通常是未知的，必须根据可用的样本数据进行估计。

        统计量：统计量是描述样本特征的数值，样本是总体的子集。通过使用从代表性样本计算的统计数据，研究人员可以推断出未知的总体相应参数。常见的统计量包括样本均值（用 表示为 ，发音为“x-bar”）、样本中位数和样本标准差（用 s 表示）。

2.2 推论统计

        推论统计是统计学的一个分支，专注于根据从该总体中获取的数据样本对更大的人口进行预测、估计或概括。它涉及使用概率论通过分析较小的子集或样本来推断并得出有关总体特征的结论。推论统计背后的关键思想是，从人口的每个成员收集数据通常是不切实际或不可能的，因此我们使用具有代表性的样本来推断整个群体。推论统计技术包括假设检验、置信区间和回归分析等。这些方法可帮助研究人员回答以下问题：

        a。两组之间有显著差异吗？

        b.我们可以根据其他变量的值预测变量的结果吗？

        c. 两个或多个变量之间的关系是什么？

        推论统计广泛应用于经济学、社会科学、医学和自然科学等各个领域，以根据有限的数据做出明智的决策和指导政策。

2.3 点估计

点估计值是用于根据样本数据估计总体的未知参数的单个值。例如，如果要估计特定学校中所有学生的平均身高，则可以随机抽取 100 名学生并计算该样本的平均身高。计算出的样本平均身高是学校所有学生平均身高的点估计值。

假设样本中 100 名学生的平均身高为 5 英尺 7 英寸。这是对学校所有学生平均身高的点估计。但是，请务必注意，此估计值会受到采样误差的影响，这意味着它可能与真实总体参数不完全相同。

要提高估计值的准确性，您可以增加样本数量或使用更具代表性的样本。您还可以计算一个值范围（称为置信区间），其中包括具有特定置信度的真实总体参数。

三、置信区间

置信区间是根据样本数据计算的值范围，可能包含具有一定置信度的真实总体参数。这是一种估计点估计精度并量化估计周围不确定性的方法。

例如，假设您要估计某个国家/地区所有男性成年人的平均体重。您随机抽取 100 名男性成年人，并计算出他们的平均体重为 180 磅。但是，由于随机抽样变化，真实总体参数可能略高于或低于此估计值。

要计算总体平均权重的 95% 置信区间，应使用考虑样本数量、样本均值和样本标准差的公式。生成的区间将是真实总体参数可能位于 95% 置信度范围内的估计值。

95%置信区间意味着，如果我们用不同的样本多次重复这项研究，95%的结果区间将包含真实的总体参数。

例如，总体平均权重的 95% 置信区间可以计算为 175 到 185 磅，这意味着我们对真实总体平均权重介于这两个值之间的置信度为 95%。

置信区间在统计学中广泛用于估计点估计的精度并推断总体参数

四、置信水平

置信水平是计算的置信区间包含真实总体参数的确定性或概率。它通常表示为百分比或十进制值。

例如，95% 的置信水平意味着如果我们多次重复采样和估计过程，则生成的置信区间的 95% 将包含真实的总体参数。

换句话说，较高的置信水平意味着计算的置信区间包含真实总体参数的确定性更高。但是，增加置信水平也会增加区间的宽度，从而降低估计值的精度。

通常，统计推断中最常用的置信水平是 90%、95% 和 99%。置信水平的选择取决于人们愿意接受的错误推断的风险水平。置信水平越高，确定性越高，但需要更大的样本量，并导致更宽的置信区间

五、置信区间=点估计裕度

5.1 置信区间（已知西格玛）也称为 Z 过程。

当总体标准差 （sigma） 已知时，可以使用以下公式计算总体均值的置信区间：

CI=样本平均误差幅度

CI = x̄ ± Zα/2 * σ/√n

哪里：

• CI 是总体均值的置信区间
• x̄ 是样本均值。
• Zα/2 是对应于所需置信水平的标准正态分布的临界值（例如，1% 置信水平为 96.95）
• 总体标准差σ
• n 是样本数量

5.2 例如

假设您要估计已知标准差为 10,000 美元的人口的平均收入。您随机抽取 50 人，并计算出他们的平均收入为 60,000 美元。使用 95% 置信水平时，临界值 Zα/2 为 1.96。代入这些值，总体平均收入的置信区间为：

CI = 60,000 ± 1.96 * 10,000/√50 = 60,000 ± 1,385.6 = （58,614.4， 61,385.6）

因此，根据此样本，我们 95% 的置信度，真实人口平均收入在 58,614.4 美元到 61,385.6 美元之间。

请注意，此公式假定样本是从正态分布或足够大的样本数量 （n≥30） 中随机选择的，没有强烈的偏度或异常值。

六、假设

随机抽样：必须使用随机抽样方法收集数据，以确保样本具有总体代表性。这有助于最大限度地减少偏差，并确保结果可以推广到整个人群。

已知总体标准差： 必须知道或准确估计总体标准差 （σ）。在实践中，总体标准差通常是未知的，样本标准差用作估计值。但是，如果样本数量足够大，则样本标准差可以提供相当准确的近似值。

正态分布或大样本量： Z 过程假定基础总体呈正态分布。但是，如果总体分布不正态，则可以在样本量较大时应用中心极限定理（通常，样本量 n ≥ 30 被认为足够大）。根据中心极限定理，样本均值的抽样分布将接近正态分布，如