（三）平面碰撞分析（Planar Impact Mechanics）

  在质点碰撞分析中，没有考虑角动量。所以这篇在前面的基础上添加角动量的分析。这个理论有时候也叫做rigid-body impact theory。

  这个理论并不是说碰撞的物体不变形，而是说不变形考虑转动惯量，使用了每个物体的撞击前尺寸。

1 n-t坐标系

同样，还是以n-t坐标系开始，直接以两辆车的碰撞建系。规定$C$为n-t坐标系原点，如下图所示。这里的$C$是两车重合部分选取的点，相关文献中有说$C$是重合部分多边形的质心。

2 物理量定义

根据上图，定义一些分析所需物理量：

• 物体质量与转动惯量：$m_1,m_2,I_1,I_2$
• n-t坐标系与x-y坐标系夹角：$\Gamma$
• 碰撞时刻辆车车头方向在x-y坐标系下的角度：${\theta }_1,{\theta }_2$
• 车辆重心与$C$组成的向量与车头方向的夹角：${\varphi }_1,{\varphi }_2$
• 车辆中心与$C$的距离分别为：$d_1,d_2$
• 两车绕其质心的角速度分别为：${\omega }_1,{\omega }_2$
• $d_a,d_b,d_c,d_d$分别代表两车在$C$点的n和t方向的力臂，可以计算为
  $$\begin{gathered} d_a=d_{2}sin({\theta }_2+{\varphi }_2-\Gamma ) \\ {d}_b=d_{2}cos({\theta }_2+{\varphi }_2-\Gamma ) \\ {d}_c=d_{1}sin({\theta }_1+{\varphi }_1-\Gamma ) \\ {d}_d=d_{1}cos({\theta }_1+{\varphi }_1-\Gamma ) \end{gathered}$$

n和t方向上的冲量可以通过x和y方向上的冲量线性变换得到：

$$\begin{gathered} P_n=P_{x}cos\Gamma +P_{y}sin\Gamma \\ {P}_t=-P_{x}sin\Gamma +P_{y}cos\Gamma \end{gathered}$$

同样约定大写字母代表碰撞后的状态量，小写字母代表起始状态量

3 碰撞分析

3.1 动量守恒

类似地，我们在x-y坐标系下列出两车x和y方向的冲量

$$\begin{gathered} m_1{V}_{1x}-m_1{v}_{1x}=P_x \\ {m}_1{V}_{1y}-m_1{v}_{1y}=P_y \\ {m}_2{V}_{2x}-m_2{v}_{2x}=-P_x \\ {m}_2{V}_{2y}-m_2{v}_{2y}=-P_y \end{gathered}$$

3.2 角动量定理

角动量的变化量等于n和t方向冲量矩之和

$$\begin{gathered} m_1{k}_1^2({\Omega }_1-{\omega }_1)=P_n{d}_c-P_t{d}_d \\ {m}_2{k}_2^2({\Omega }_2-{\omega }_2)=P_n{d}_a-P_t{d}_b \end{gathered}$$

其中$I_1=m_1{k}_1^2，I_2=m_2{k}_2^2$代表转动惯量

3.3 恢复系数（COR）

这里的恢复系数由$C$点的法向方向速度定义

$$e=-V_{Crn}/v_{crn}$$

这里的速度考虑了线速度

$$\begin{gathered} V_{Crn}=V_{1n}+d_c{\Omega }_1-V_{2n}+d_a{\Omega }_2 \\ {v}_{Crn}=v_{1n}+d_c{\omega }_1-v_{2n}+d_a{\omega }_2 \end{gathered}$$

3.4 冲量比（Impulse Ratio）

同样，冲量比$\mu$的定义不变$P_t=\mu P_n$

3.5 碰撞分析求解

现在8个未知数，8个方程，我们可以直接求解碰撞后两车的速度和角速度

$$\begin{gathered} V_{1n}=v_{1n}+\overline{m}(1+e)v_{rn}q/m_1 \\ {V}_{1t}=v_{1t}+\mu \overline{m}(1+e)v_{rn}q/m_1 \\ {V}_{2n}=v_{2n}-\overline{m}(1+e)v_{rn}q/m_2 \\ {V}_{2t}=v_{2t}-\mu \overline{m}(1+e)v_{rn}q/m_2 \\ {\Omega }_1={\omega }_1+\overline{m}(1+e)v_{rn}(d_c-\mu d_d)q/(m_1{k}_1^2) \\ {\Omega }_2={\omega }_2+\overline{m}(1+e)v_{rn}(d_a-\mu d_b)q/(m_2{k}_2^2) \end{gathered}$$

其中:

$$\begin{gathered} \overline{m}=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2} \\ {v}_{rn}=(v_{2n}-d_a{w}_2)-(v_{1}n+d_c{w}_1) \\ \frac{1}{q}=1+\frac{\overline{m}{d}_a^2}{m_2{k}_2^2}+\frac{\overline{m}{d}_c^2}{m_1{k}_1^2}-\mu (\frac{\overline{m}{d}_c{d}_d}{m_1{k}_1^2}+\frac{\overline{m}{d}_a{d}_b}{m_1{k}_1^2}) \end{gathered}$$

3.6 动能损失和$\Delta v$

知道了碰撞后速度，我们就可以求得动能损失：

$$T_L=\frac{1}{2}\overline{m}q{v}_{rn}^2(1+e)[2+2\mu r-(1+e)q(1+{\mu }^2+\frac{\overline{m}{d}_e^2}{m_1{k}_1^2}+\frac{\overline{m}{d}_f^2}{m_2{k}_2^2})]$$

其中：
$$\begin{gathered} d_e=d_c-\mu d_d \\ {d}_f=d_a-\mu d_b \\ r=\frac{(v_{2t}-d_b{w}_2)-(v_{1t}+d_d{w}_1)}{(v_{2n}-d_a{w}_2)-(v_{1n}+d_c{w}_1)} \end{gathered}$$

临界冲量比（critical impulse ratio）由$V_{1Ct}-V_{2Ct}=0$条件给出，可以计算为：

$${\mu }_0=\frac{rA+(1+e)B}{(1+e)(1+C)+rB}$$

其中：

$$\begin{gathered} A=1+\frac{\overline{m}{d}_c^2}{m_1{k}_1^2}+\frac{\overline{m}{d}_a^2}{m_2{k}_2^2} \\ B=\frac{\overline{m}{d}_c{d}_d}{m_1{k}_1^2}+\frac{\overline{m}{d}_a{d}_b}{m_2{k}_2^2} \\ C=\frac{\overline{m}{d}_d^2}{m_1{k}_1^2}+\frac{\overline{m}{d}_b^2}{m_2{k}_2^2} \end{gathered}$$

$\Delta V$可以计算得到：

$$\begin{gathered} \Delta V_i=\sqrt{(V_{in}^2-v_{in}^2)+(V_{it}^2-v_{it}^2)},i=1,2 \\ {m}_i\Delta V_i=\sqrt{\frac{2\overline{m}(1+e)q(1+{\mu }^2)T_L}{2+2\mu r-(1+e)q(1+{\mu }^2+\frac{\overline{m}{d}_e^2}{m_1{k}_1^2}+\frac{\overline{m}{d}_f^2}{m_2{k}_2^2})}} \end{gathered}$$