本文主要是介绍凸优化学习笔记 2：超平面分离定理，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
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文章目录
- 1. 超平面分离定理
- 2. 支撑超平面定理
1. 超平面分离定理
超平面分离定理(Separating hyperplane theorem)：若 C , D C,D C,D 为非空凸集，且 C ∩ D = ∅ C\cap D=\varnothing C∩D=∅，则存在 a ≠ 0 , b a\ne 0,b a=0,b，使得
a T x ≤ b for x ∈ C , a T x ≥ b for x ∈ D a^Tx\le b\quad\text{for}\quad x\in C,\quad a^Tx\ge b \quad\text{for}\quad x\in D aTx≤bforx∈C,aTx≥bforx∈D
也可以等价表示为 inf x ∈ D a T x ≥ sup x ∈ C a T x \inf_{x\in D}a^Tx \ge \sup_{x\in C}a^Tx infx∈DaTx≥supx∈CaTx
Lemma 1： C C C closed，convex， y ∉ C y\notin C y∈/C，那么存在唯一的 x ∈ C x\in C x∈C，使得 ∥ y − x ∥ = inf { ∥ y − z ∥ ∣ z ∈ C } = d ( y , C ) \Vert y-x\Vert=\inf\{\Vert y-z\Vert|z\in C\}=d(y,C) ∥y−x∥=inf{∥y−z∥∣z∈C}=d(y,C)
Proof：omit…
Lemma 2： C C C closed，convex， y ∉ C y\notin C y∈/C，那么存在 a ≠ 0 , b a\ne 0,b a=0,b，使得
a T y < b , a T x ≥ b ∀ x ∈ C a^Ty<b,\quad a^Tx\ge b\quad\forall x\in C aTy<b,aTx≥b∀x∈C
Proof：omit…
Remark：上述定理表明存在超平面可以严格分开 y y y 与 C C C。
Lemma 3： C C C convex， y ∉ C y\notin C y∈/C，那么存在 a ≠ 0 , b a\ne 0,b a=0,b，使得
a T y ≤ b , a T x ≥ b ∀ x ∈ C a^Ty\le b,\quad a^Tx\ge b\quad\forall x\in C aTy≤b,aTx≥b∀x∈C
Proof：omit…
超平面分离定理逆定理：若 C C C 为开集，且存在超平面分离 C , D C,D C,D，则 C ∩ D = ∅ C\cap D=\varnothing C∩D=∅
2. 支撑超平面定理
支撑超平面：对于集合 C C C 的边界点 x 0 x_0 x0，支撑超平面为 { x ∣ a T x = a T x 0 } \{x|a^Tx=a^Tx_0\} {x∣aTx=aTx0}，其满足 a ≠ 0 a\ne0 a=0 且 a T x ≤ a T x 0 , ∀ x ∈ C a^Tx\le a^Tx_0,\ \forall x\in C aTx≤aTx0, ∀x∈C
支撑超平面定理：如果 C C C 为凸集，那么 C C C 的每个边界点都存在一个支撑超平面
这篇关于凸优化学习笔记 2：超平面分离定理的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
