深入理解拉格朗日乘子法和KKT条件的原理及运用

2023-10-11 17:20

本文主要是介绍深入理解拉格朗日乘子法和KKT条件的原理及运用,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

深入理解拉格朗日乘子法和KKT条件的原理及运用

  • 一、凸函数
  • 二、常见的三类最优化问题
  • 三、拉格朗日乘子法解决带等式约束的最优化问题
    • (一)用实例理解拉格朗日乘子法的背后意义
    • (二)、拉格朗日乘子法求解带等式约束的最优化问题
  • 四、引入KKT条件求带不等式约束条件的最优化
    • (一)实例理解带不等式约束条件的最优化
    • (二)满足KKT条件下的利用拉格朗日函数求带不等式约束的最优化问题
    • (三)原最优化问题转对偶问题
  • 参考

一、凸函数

以下讨论均基于凸优化,首先要知道什么是凸函数:
对于任意属于[0,1]的a和任意属于凸集的两点x, y,有f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2),几何上的直观理解就是两点连线上某点的函数值,大于等于两点之间某点的函数值。凸函数的任一局部极小点也是全局极小点。
凸集定义:欧式空间中,对于集合中的任意两点的连线,连线上任意一点都在集合中,我们就说这个集合是凸集。

在这里插入图片描述
对于一元函数f(x),我们可以通过其二阶导数f′′(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负,即f′′(x)≥0 ,则f(x)是凸函数。
扩展:对于凸函数,我们可以推广出一个重要的不等式,即Jensen不等式。如果 f 是凸函数,X是随机变量,那么f(E(X))≤E(f(X)),上式就是Jensen不等式的一般形式。

二、常见的三类最优化问题

1.无约束优化问题:
min f(x);
对于无约束的优化问题解决方法通常是函数对变量求导,令求导函数等于0的点可能是极值点,最后再将结果带回原函数进行验证。但是如果已经是凸函数,就不需要再验证,可以保证求导函数等于0的点是最优解。
2.有等式约束的优化问题:
min f(x),
s.t hi(x)=0;i=1,…,n
解决这类问题要运用到拉格朗日乘子法构造拉格朗日函数,将在下面详细介绍
3.有不等式约束的优化问题:
min f(x),
s.t gi (x)<=0 (i=1,…,n)
hj(x)=0(j=1,…,m)
解决这类问题要引入KKT条件并构造拉格朗日函数,将在下面详细介绍

三、拉格朗日乘子法解决带等式约束的最优化问题

(一)用实例理解拉格朗日乘子法的背后意义

1.现在假设我们有一个函数
在这里插入图片描述
我们要在满足
在这里插入图片描述
这个等式约束条件下求极小值。也就是如下式:
在这里插入图片描述
2.我们需要先直观的看一下函数f(x,y)以及它的等高线的图像:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
3.接下来,我们求出函数f(x,y)的梯度向量:
在这里插入图片描述
我们需要知道的是梯度向量

这篇关于深入理解拉格朗日乘子法和KKT条件的原理及运用的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



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