本文主要是介绍Fourier变换中的能量积分及其详细证明过程,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
Fourier变换中的能量积分及其详细证明过程
在使用Fourier变换分析信号时候,有时需要用到能量积分。本文对Fourier变换的能量积分进行分析。
一、Fourier变换中的能量积分
若 F ( ω ) = F [ f ( t ) ] F(\omega)=\mathscr F[f(t)] F(ω)=F[f(t)],则有
∫ − ∞ + ∞ [ f ( t ) ] 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∣ F ( ω ) ∣ 2 d ω (1) \int_{ - \infty }^{ + \infty } [{f}(t)]^2 {\rm{d}}t = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty }| {F}(\omega )|^2 {\rm{d}}\omega \tag1 ∫−∞+∞[f(t)]2dt=2π1∫−∞+∞∣F(ω)∣2dω(1)
该等式又称为Parseval等式。
二、证明Fourier变换中的能量积分(Parseval 等式)
证明:
根据Fourier变换的乘积定理的推论,令 f 1 ( t ) = f 2 ( t ) = f ( t ) f_1(t)=f_2(t)=f(t) f1(t)=f2(t)=f(t),则
∫ − ∞ + ∞ [ f ( t ) ] 2 d t = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) f ( t ) d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω ) ‾ F ( ω ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∣ F ( ω ) ∣ 2 d ω = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ S ( ω ) d ω \int_{ - \infty }^{ + \infty } [{f}(t)]^2 {\rm{d}}t = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{f}(t)} } {f}(t){\rm{d}}t \\\\= \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {\overline {{F}(\omega )} } {F}(\omega ){\rm{d}}\omega\\\\= \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty }| {F}(\omega )|^2 {\rm{d}}\omega\\\\= \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {S}(\omega ) {\rm{d}}\omega ∫−∞+∞[f(t)]2dt=∫−∞+∞f(t)f(t)dt=2π1∫−∞+∞F(ω)F(ω)dω=2π1∫−∞+∞∣F(ω)∣2dω=2π1∫−∞+∞S(ω)dω
其中, S ( ω ) = ∣ F ( ω ) ∣ 2 {S}(\omega )=|{F}(\omega )|^2 S(ω)=∣F(ω)∣2,并将 S ( ω ) {S}(\omega ) S(ω)称为能量密度函数(或称为能量谱密度)。
证毕.
注解:关于Fourier变换的乘积定理及其推论和证明过程(见本博主文章:链接: Fourier变换的乘积定理及其详细证明过程).
能量密度函数 S ( ω ) {S}(\omega ) S(ω)决定了函数 f ( t ) f(t) f(t)的能量在频域的分布规律,将 S ( ω ) {S}(\omega ) S(ω)对所有频率积分就得到 f ( t ) f(t) f(t)在时间域 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)范围的总能量 ∫ − ∞ + ∞ [ f ( t ) ] 2 d t \int_{ - \infty }^{ + \infty } [{f}(t)]^2 {\rm{d}}t ∫−∞+∞[f(t)]2dt。因此,Parseval等式又称为能量积分。
此外,还可知能量密度函数 S ( ω ) {S}(\omega ) S(ω)是一个偶函数,即
S ( ω ) = S ( − ω ) {S}(\omega )={S}(-\omega ) S(ω)=S(−ω).
三、能量积分(Parseval等式)特别注意事项
- 在 ∫ − ∞ + ∞ [ f ( t ) ] 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ∣ F ( ω ) ∣ 2 d ω \int_{ - \infty }^{ + \infty } [{f}(t)]^2 {\rm{d}}t = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^{ + \infty }| {F}(\omega )|^2 {\rm{d}}\omega ∫−∞+∞[f(t)]2dt=2π1∫−∞+∞∣F(ω)∣2dω等式中, ∣ F ( ω ) ∣ 2 |{F}(\omega )|^2 ∣F(ω)∣2表示对 F ( ω ) F(\omega) F(ω)取模后再平方,而不能写成 [ F ( ω ) ] 2 [{F}(\omega )]^2 [F(ω)]2,此处要特别留意该差别。
- 能量密度函数 S ( ω ) {S}(\omega ) S(ω)是一个偶函数,即 S ( ω ) = S ( − ω ) {S}(\omega )={S}(-\omega ) S(ω)=S(−ω),它不等于 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换(即能量谱密度和频谱是两种不同的计算过程);而是能量密度函数 S ( ω ) {S}(\omega ) S(ω)等于 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换后取模再平方而得到。
这篇关于Fourier变换中的能量积分及其详细证明过程的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!