RL - 强化学习 蒙特卡洛 (Monte-Carlo) 方法计算状态价值

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在强化学习中，状态价值 (State Value) 是指在特定状态下，智能体能够从该状态开始执行一系列动作，并且按照某个策略进行决策，所能获得的期望累积回报。状态价值函数用于衡量状态的好坏程度，指导智能体在不同状态下，选择最优的行动。

蒙特卡洛方法是一种基于随机采样和统计的强化学习方法，用于估计值函数或优化策略，得名于摩纳哥的蒙特卡洛赌场，因为这种方法使用了大量的随机模拟。在蒙特卡洛方法中，智能体通过与环境的交互来学习，其基本思想是通过多次采样来估计状态或动作的值函数，并根据估计的值函数进行策略改进。蒙特卡洛方法不需要对环境模型进行假设，只需通过与环境的交互来获得样本。

使用蒙特卡洛方法计算状态价值的具体过程，如下：

1. 使用策略 $\pi$ 采样若干条序列。
2. 对每一条序列中，每一时间步 $t$ 的状态 $s$ ，更新计数器 $N(s)\leftarrow N(s)+1$，更新总回报 $M(s)\leftarrow M(s)+G_t$。
3. 每一个状态的价值被估计为回报的平均值，$V(s)=\frac{M(s)}{N(s)}$

也可以使用增量更新，即
$$\begin{gathered} G\leftarrow r+\gamma \ast G \\ V(s)\leftarrow V(s)+\frac{1}{N(s)}(G-V(s)) \end{gathered}$$
序列的单个步骤是(s,a,r,s_next)，即从状态s中，(随机)选择a，(s,a)的奖励是r，(随机)跳转至s_next。

蒙特卡洛方法的采样源码：

# 把输入的两个字符串通过“-”连接,便于使用上述定义的P、R变量
def join(str1, str2):return str1 + '-' + str2def sample(MDP, Pi, timestep_max, number):"""采样函数:param MDP: MDP的元组:param Pi: 策略:param timestep_max: 最长时间步:param number: 采样的序列数:return: 全部采样"""S, A, P, R, gamma = MDPepisodes = []for _ in range(number):episode = []timestep = 0s = S[np.random.randint(4)]  # 随机选择一个除s5以外的状态s作为起点# 当前状态为终止状态或者时间步太长时,一次采样结束while s != "s5" and timestep <= timestep_max:timestep += 1rand, temp = np.random.rand(), 0# 在状态s下根据策略选择动作for a_opt in A:temp += Pi.get(join(s, a_opt), 0)   # 概率逐渐累加至1if temp > rand:  # 最终一定会选择某个动作 a_opta = a_optr = R.get(join(s, a), 0)breakrand, temp = np.random.rand(), 0# 根据状态转移概率得到下一个状态s_nextfor s_opt in S:temp += P.get(join(join(s, a), s_opt), 0)if temp > rand:  # 概率逐渐累加至1s_next = s_opt  # 最终一定会跳转至下个状态s_optbreakepisode.append((s, a, r, s_next))  # 把（s,a,r,s_next）元组放入序列中s = s_next  # s_next变成当前状态,开始接下来的循环episodes.append(episode)return episodes

计算状态价值的源码：

# 对所有采样序列计算所有状态的价值，不断更新V[s]
def MC(episodes, V, N, gamma):for episode in episodes:G = 0for i in range(len(episode) - 1, -1, -1):  #一个序列从后往前计算(s, a, r, s_next) = episode[i]G = r + gamma * GN[s] = N[s] + 1V[s] = V[s] + (G - V[s]) / N[s]

测试输出：

def main():np.random.seed(0)S = ["s1", "s2", "s3", "s4", "s5"]  # 状态集合A = ["保持s1", "前往s1", "前往s2", "前往s3", "前往s4", "前往s5", "概率前往"]  # 动作集合# 状态转移函数P = {"s1-保持s1-s1": 1.0,"s1-前往s2-s2": 1.0,"s2-前往s1-s1": 1.0,"s2-前往s3-s3": 1.0,"s3-前往s4-s4": 1.0,"s3-前往s5-s5": 1.0,"s4-前往s5-s5": 1.0,"s4-概率前往-s2": 0.2,"s4-概率前往-s3": 0.4,"s4-概率前往-s4": 0.4,}# 奖励函数R = {"s1-保持s1": -1,"s1-前往s2": 0,"s2-前往s1": -1,"s2-前往s3": -2,"s3-前往s4": -2,"s3-前往s5": 0,"s4-前往s5": 10,"s4-概率前往": 1,}gamma = 0.5  # 折扣因子MDP = (S, A, P, R, gamma)# 策略1,随机策略Pi_1 = {"s1-保持s1": 0.5,"s1-前往s2": 0.5,"s2-前往s1": 0.5,"s2-前往s3": 0.5,"s3-前往s4": 0.5,"s3-前往s5": 0.5,"s4-前往s5": 0.5,"s4-概率前往": 0.5,}# 采样5次,每个序列最长不超过20步episodes = sample(MDP, Pi_1, 20, 5)print('第一条序列\n', episodes[0])print('第二条序列\n', episodes[1])print('第五条序列\n', episodes[4])timestep_max = 20# 采样1000次,可以自行修改episodes = sample(MDP, Pi_1, timestep_max, 1000)gamma = 0.5V = {"s1": 0, "s2": 0, "s3": 0, "s4": 0, "s5": 0}N = {"s1": 0, "s2": 0, "s3": 0, "s4": 0, "s5": 0}MC(episodes, V, N, gamma)print("使用蒙特卡洛方法计算MDP的状态价值为\n", V)if __name__ == '__main__':main()

输出结果：

# 使用蒙特卡洛方法计算MDP的状态价值{'s1': -1.228923788722258, 's2': -1.6955696284402704, 's3': 0.4823809701532294, 's4': 5.967514743019431, 's5': 0}# 通过MRP计算的状态价值[[-1.22555411] [-1.67666232] [ 0.51890482] [ 6.0756193 ] [ 0.        ]]

状态价值，可以用于计算状态动作价值，具有指导意义。