图的关节点（Tarjan算法）

本文主要是介绍图的关节点（Tarjan算法），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

数据结构复习–求图的关节点（Tarjan算法）

重连通图的关节点（割点）

关节点

若连通图中某个顶点和其相关联的边被删去后，该连通图被分割成两个或两个以上的联通分量，则称此节点为关节点（割点）。

重（双）连通图

没有关节点的连通图称为双连通图。
即从一个双连通图中删去任何一个顶点及其想关联的边，它仍为一个连通图。

深度优先生成树与回边

从图中任意顶点开始，执行深度优先搜索并在顶点被访问时给它们编号。
而对于图中实际存在而深度优先生成树中不存在的边，称为回边(v,w)或背向边(v,w)。
如下例，虚线部分表示回边。

Visited数组与Low数组

visited数组

第一次对图执行深度优先搜索时，依次访问节点，同时按访问顺序对节点编号。对于每一个节点v,我们称其先序序号为visited[v]。

low数组

然后对深度优先搜索树上的每一个节点v，计算编号最低的顶点，称之为low[v]。
其意义为(个人理解):通过该点，经过零条或多条边及最多一条回边，可以到达的顶点的编号的最小值。例如上图中的C点，其先序编号为3，但可首先通过一条边达到D点，并通过D的回边到达A，所以其low数组编号，及可到达的最低节点编号为1。

上图中顶点的数字标注为visited[v]/low[v]。

Low数组求法

解释：对于任意一个顶点V，其low数组值为自身先序编号(visited[v]),其所有孩子节点的low值的最小值，与其通过回边相连的祖先节点K的先序编号（visited[k]）这三者中的最小值。

关节点的判定

1.若生成树中根节点顶点V，其子树个数大于1，则该节点一定为关节点（易理解）。
2.对于非根节点v，它是割点当且仅当它有某个儿子w,使得Low[w]>=Visited[v]。注：该条件在根处总是满足，所以需要进行特别判断。
上例中顶点C与D为关节点。

Low[w]>=Visited[v]的理解:

Low[w]>=Visited[v]含义为，v有某个孩子w，其可到达的节点的最低先序编号大于等于其父亲的先序编号。即w一定不可能到达比v先序编号低的节点（深度优先搜索中比v先访问的节点），则删除节点v后，w一定不能与v之前的节点相连，则该图不为连通图。

Tarjan算法

Tarjan算法为求关节点的常用算法，其时间复杂度为O(V+E)。

void FindArticul(ALGraph G){//连通图G以邻接表作存储结构，查找并输出G上全部关节点。全局量count对访问计数。count = 1; visited[0] = 1;   //设定邻接表上0号顶点为生成树的根 for( i=1; i<G.vexnum; ++i)   //其余顶点清零，尚未访问。 visited[i]=0;p=G.vertices[0].firstarc;   //p为0号顶点指向的第一条依附于它的弧。 v=p->adjvex;                //v为该弧所指向的顶点的位置。(即树的根结点) DFSArticul(G,v);             //从第v顶点出发深度优先查找关节点 if(count<G.vexnum)           //生成树的根至少有两颗子树 {printf(0,G.vertices[0].data);   //根是关节点，输出 while(p->nextarc)         //指向下一条弧 {p=p->nextarc;v=p->adjvex;         if(visited[v]==0)DFSArticul(g,v);} }
}void DFSArticul(ALGraph G,int v0){   //在深度遍历，标记visited[v]的同时检查关节点 //从第v0个顶点出发深度优先遍历图G，查找并输出G上全部关节点。全局count对访问计数。 visited[v0]=min=++count;for(p=G.vertices[0].firstarc;p;p=p->nextarc){    //对v0的每个邻接顶点检查 w=p->adjvex;           //w为v0邻接顶点if(visited[w]==0)      //w未曾访问，是v0的孩子； 注：结点v的low与其孩子有关，所以一定先递归求出节点的所有子树的low值。 {DFSArticul(G,w);    //返回前求得low[w]；if(low[w]<min)  min=low[w];if(low[w]>=visited[v0])printf(v0,G.vertices[v0].data);    //输出关节点;         } else if(visited[w]<min)     //不是孩子节点，则为v0节点的祖先（回边） min=visited[w];}low[v0]=min;
}

注意点：

1.搜索树的根节点需要特判
2.对于每个顶点V，其low一定要在其所有孩子的low值已知的情况下才能决定，所以在算法中要先递归调用求出所有子树的low值。
3.节点孩子的判断方式(w为v的邻接点，且w之前未被访问),
回边的判断方式（w为v的邻接点，w已被访问）。
4.DFSArticul函数同时实现visited数组的标记，low数组的更新与关节点的判定。

时间复杂度分析:

Tarjan算法的时间复杂度与图的深度优先遍历复杂度相同，都是对所有顶点与边访问一次，复杂度为O(V+E)。

这篇关于图的关节点（Tarjan算法）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---