数学 用导数来求极大值和极小值

用导数来求极大值和极小值

函数在哪里最高或最低？微积分可以帮助你！

一个顺滑改变的函数的低点（级小值）或高点（极大值）是在其变成平坦的地方：

（但不是所有平坦的地方都是极大值或极小值，也可以有个鞍点)

在哪里变成平坦？  在坡度等于零的地方。

坡度在哪里等于零？  导数可以告诉我们！

 

（你也许想先去阅读关于 导数 的内容。）

例子：向上抛一个球。在球离开手 t 秒后，它的高度是：

h = 3 + 14t − 5t2

那么球最高的高度是多少？

导数 可以给我们函数的坡度：

h = 0 + 14 − 5(2t)
= 14 − 10t

（对于这个例子你可在下面看到怎样求这个导数。）

求坡度在哪里等于零：

14 − 10t = 0

10t = 14

t = 14 / 10 = 1.4

坡度在 t = 1.4秒 时等于零

在这个时候球的高度是：

h = 3 + 14×1.4 − 5×1.42

h = 3 + 19.6 − 9.8 = 12.8

所以：

最高的高度是 12.8 m （当 t = 1.4 s）

简略重温导数

其本上，导数 是函数的坡度。

在以上的例子中我们用：

h = 3 + 14t − 5t2

来求得这个导数：

h = 0 + 14 − 5(2t)
= 14 − 10t

它是函数在时间 t 时的坡度

 有些法则可以帮助我们去求导数。

以下是一些法则：

• 常数 t（像 3）的导数是 0
• 直线，像 2x， 的导数是 2，14t 的导数是 14
• 平方函数，像 t2 的导数是 2t，所以 5t2 的导数是 5(2t) = 10t
• 和的导数是导数的和

在这里学习更多 导数法则

我们怎样知道是极大值（或极小值）？

看图就知道！如果不看图……就用导数。

取坡度的导数（原来函数的二次导数）：

14 − 10t 的导数是 −10

这个的意思是坡度持续减小（−10）：从左到右，坡度开始是正数（函数上升），经过零（平点），然后变成负数（函数下跌）：

减小（也经过 0）的坡度代表极大值。

 

这就是 二次导数检测

上面的图显示了前后的坡度，但在实际情况下我们在坡度为零的地方检测：

二次导数检测

若函数的 导数在 x 等于零，同时 在 x 的二次导数是：

• 小于 0，便是局部极大值
• 大于 0，便是局部极小值
• 等于 0，检测失败（但可能有其他办法）

"二次导数：小于 0 是极大值，大于 0 是极小值"

例子：求以下函数的极大值和极小值：

y = 5x3 + 2x2 − 3x

导数（坡度）是：

y = 15x2 + 4x − 3

这是个 二次式，零点在：

• x = −3/5
• x = +1/3

这两点会是极大值或极小值吗？（先别看图！）

二次导数 是 y'' = 30x + 4

在 x = −3/5：

y'' = 30(−3/5) + 4 = −14

小于 0，所以 −3/5 是个局部极大值

在 x = +1/3：

y'' = 30(+1/3) + 4 = +14

大于 0，所以 +1/3 是个局部极小值

（现在可以看图了。）

词汇

高点 叫 极大值。

低点 叫 极小值。

两者 都叫 极值。

若函数可能在别的地方有更高（或更低）的值，但在这点附近没有，我们便叫这点为 局部极大值（或极小值）。

再举个例

例子：求以下的极大值和极小值：

y = x3 − 6x2 + 12x − 5

导数：

y = 3x2 − 12x + 12

是个 二次式，只在 x = 2 有个零点

是个极大值还是极小值？

二次导数 是 y'' = 6x − 12

在 x = 2：

y'' = 6(2) − 12 = 0

等于 0，所以检测失败

原因是：

这是个 鞍点 …… 坡度变成零，但不是极大值，也不是极小值。

一定要是可微分的。

有一个重要的技术点：

函数一定要是 可微分的 （导数存在于在函数定义域里的每个点）。

例子：函数 f(x) = |x| （绝对值）

|x| 的图像这样：

在 x=0 有个尖锐的改变！

在 x=0，这个函数是不可微分的（见 可微分 网页）。

因此，以上的方法不能用在绝对值函数上。

（函数也一定要是 连续的，但任何可微分的函数都是连续的。）