分治算法与凸包问题

本文主要是介绍分治算法与凸包问题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. 什么是凸包问题？

凸包问题是计算几何中的经典问题。给定二维平面上的点集，凸包是一个最小的凸多边形，它包含了点集中所有的点。你可以把凸包想象成一根松紧带将所有点紧紧包裹住的样子，凸包的边缘仅沿着最外面的点延伸。

2. 分治法简介

分治算法是解决复杂问题的强大策略，它的思想是将问题分解为多个子问题，分别解决这些子问题后再合并得到最终解。凸包问题可以通过分治算法高效地解决，时间复杂度可以达到 (O(n \log n))。具体的算法可以分为以下三个步骤：

1. 分解（Divide）：将点集按 x 坐标排序，并递归地将点集分为左右两部分。
2. 求解（Conquer）：分别对左右两部分的点集递归地求解凸包。
3. 合并（Combine）：通过找到上下切线，将左右两部分的凸包合并，形成完整的凸包。

3. 分治法求解凸包问题的详细步骤

3.1 分割与递归求解

首先，将点集按照 x 坐标进行排序，并将其分为左右两部分。分割后的每部分都可以递归地调用相同的凸包算法进行求解。如果点集的数量较少（例如2个点），可以直接返回这些点作为凸包的边界。

3.2 合并凸包

合并的过程是分治算法中最复杂但也是最关键的部分。合并两个凸包时，需要找到两个凸包之间的上切线和下切线。

• 上切线是连接两个凸包的最高的直线段，它连接左侧凸包的一个点和右侧凸包的一个点，并且没有其他点在这条直线的上方。
• 下切线是连接两个凸包的最低的直线段，它同样连接左侧和右侧凸包，并且没有其他点在这条直线的下方。

通过找到上切线和下切线，我们可以将左右两部分凸包的边界线连接起来，从而形成整个点集的凸包。

3.3 寻找上切线和下切线

寻找上切线的过程：

1. 从左侧凸包最右边的点和右侧凸包最左边的点开始。
2. 通过“叉乘”判断点的相对位置：
   • 如果右侧凸包中有一个点相对于当前直线在更上方，则顺时针移动右侧凸包的点。
   • 如果左侧凸包中的点相对于当前直线在更上方，则逆时针移动左侧凸包的点。
3. 当两个点都不再移动时，找到的就是上切线。

寻找下切线的过程与上切线类似，但我们需要找到最低的直线段，因此判断方向相反。

3.4 叉乘的作用

在寻找上切线和下切线的过程中，叉乘用于判断三点的相对位置。叉乘结果的几何意义如下：

• 结果为正：表示第三个点在当前直线的左侧（逆时针方向）。
• 结果为负：表示第三个点在当前直线的右侧（顺时针方向）。
• 结果为零：表示三点共线。

通过叉乘的几何性质，我们可以高效地找到上下切线，完成凸包的合并。

4. 代码实现

接下来是分治法求解凸包问题的完整Python代码实现：

import matplotlib.pyplot as plt# 定义点类
class Point:def __init__(self, x, y):self.x = xself.y = ydef __repr__(self):return f"({self.x}, {self.y})"# 计算叉乘，用于判断点的相对方向
def cross(o, a, b):return (a.x - o.x) * (b.y - o.y) - (a.y - o.y) * (b.x - o.x)# 分治法求解凸包
def convex_hull(points):points = sorted(points, key=lambda p: (p.x, p.y))  # 按 x 坐标排序# 递归划分并合并def divide_and_conquer(points):if len(points) <= 2:return pointsmid = len(points) // 2left_hull = divide_and_conquer(points[:mid])right_hull = divide_and_conquer(points[mid:])return merge_hulls(left_hull, right_hull)# 合并两个凸包def merge_hulls(left_hull, right_hull):# 寻找上切线def find_upper_tangent(left_hull, right_hull):i, j = len(left_hull) - 1, 0while True:moved = Falsewhile cross(left_hull[i], right_hull[j], right_hull[(j + 1) % len(right_hull)]) > 0:j = (j + 1) % len(right_hull)moved = Truewhile cross(right_hull[j], left_hull[i], left_hull[(i - 1) % len(left_hull)]) < 0:i = (i - 1) % len(left_hull)moved = Trueif not moved:breakreturn i, j# 寻找下切线def find_lower_tangent(left_hull, right_hull):i, j = len(left_hull) - 1, 0while True:moved = Falsewhile cross(left_hull[i], right_hull[j], right_hull[(j - 1) % len(right_hull)]) < 0:j = (j - 1) % len(right_hull)moved = Truewhile cross(right_hull[j], left_hull[i], left_hull[(i + 1) % len(left_hull)]) > 0:i = (i + 1) % len(left_hull)moved = Trueif not moved:breakreturn i, j# 找到上下切线upper_left, upper_right = find_upper_tangent(left_hull, right_hull)lower_left, lower_right = find_lower_tangent(left_hull, right_hull)# 合并凸包new_hull = []new_hull.append(left_hull[upper_left])new_hull.append(right_hull[upper_right])i = (upper_right + 1) % len(right_hull)while i != lower_right:new_hull.append(right_hull[i])i = (i + 1) % len(right_hull)new_hull.append(right_hull[lower_right])new_hull.append(left_hull[lower_left])i = (lower_left + 1) % len(left_hull)while i != upper_left:new_hull.append(left_hull[i])i = (i + 1) % len(left_hull)return new_hullreturn divide_and_conquer(points)# 测试数据
points = [Point(0, 0), Point(1, 1), Point(2, 0), Point(0, 2), Point(2, 2), Point(1.5, 1.5)]
hull = convex_hull(points)
print(hull)

结果展示：

5. 总结

通过分治法解决凸包问题，不仅能够大幅优化计算效率，还能让人更好地理解几何性质。使用分治法，我们将点集分为左右两部分，分别求解凸包，再通过上下切线合并两个凸包，最终得到完整的凸包。这种方法体现了分治法的精髓，是计算几何中的经典算法之一。

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