[笔记]动态规划之01背包问题

本文主要是介绍[笔记]动态规划之01背包问题，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

01背包

• n件物品
• w为容量上限的背包
• weight[i]：第i件物品的重量
• value[i]：第i件物品的价值

每件物品只能放入1次，装入哪些物品能让背包内物品总价值最高？

暴力解法：回溯算法 - 时间复杂度$O(2^n)$

二维数组

1. 确定dp数组下标含义

   dp[i][j] - 从下标为[0]到[i]的物品里取，放入容量为j的背包，此时的最大价值总和

2. 确定递推公式

   • 不放物品i：dp[i][j] = dp[i - 1][j]（物品重量大于背包容量，物品i放不进包里，背包价值不变；
   • 放物品i：dp[i][j] = dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]（dp[i - 1][j - weight[i]]是容量为j - weight[i]时未放物品i的最大价值，dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]是此时放入物品i后背包的最大价值；
   • 综上：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

3. 初始化dp数组

   1. 容量j为0时，背包价值总和一定为0；

   2. 当j < weight[0]时，dp[0][j] = 0(背包容量比第0号物品小，放不进背包）；

   3. 当j > weight[0]时，dp[0][j] = value[0]（背包可以放下第0号物品）；

      //参考代码如下，全部初始化为0则可省略第一个for循环
      for (int j = 0; j < weight[0]; j++)dp[0][j] = 0;
      for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) dp[0][j] = value[0];
      

4. 确定遍历顺序

   1. 先遍历物品，后遍历背包
   2. 先遍历背包，后遍历物品
   3. 本质上：dp[i][j]由前序数据推出，for循环遍历次序不影响公式推导

5. 举例推导dp数组

滚动数组

所谓滚动数组，就是通过一维数组的方式压缩存储背包问题的状态。

1. 确定dp数组下标含义

   • dp[i][j] - 从下标为[0]到[i]的物品里取，放入容量为j的背包，此时的最大价值总和 ；
   • dp[j] - 容量为j的背包，所装物品的最大价值总和；

2. 确定dp数组递推公式

   1. 不放物品i：dp[j] = dp[j]；
   2. 放物品i：dp[j] = dp[j - weight[i]] + value[i]；
   3. 综上，递推式为dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

3. 初始化dp数组

   • dp[0] = 0;
   • 其它下标可以初始化为0；

4. 确定遍历顺序

   • 倒序遍历：保证物品i只被放入一次！

     dp[i][j]是由上一层dp[i - 1][ ]计算而来，当前层的dp[i][j]并不会被覆盖，顺序逆序遍历物品i都只被放入一次。如果顺序遍历dp[j]数组，就相当于dp[i][j]由层dp[i][ ]计算而来，这个过程就重复放入物品i了。

   • 先遍历物品，再嵌套遍历背包容量

     倒序遍历，如果先遍历背包容量，再嵌套物品，那么背包里都只放入了一个物品。

5. 举例推导dp数组

这篇关于[笔记]动态规划之01背包问题的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

---