论斜率优化dp

本文主要是介绍论斜率优化dp，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1问题

如下图


看到这题，题面很复杂
其实可以转化为如下问题

有$n$个任务，排成一个有序序列，我们要解决这些任务
总费用是每一个任务的完成时间乘以费用系数求和
每个任务之前需要有一个机器启动时间$s$
也就是说，一开始的时间为$0$，做每个任务之前要先费$s$的时间启动机器，做每个任务都需要一定时间，假设在$ti$时刻完成费用系数为$fi$的任务，这个任务的费用为$ti\times fi$
总费用为$\sum ti\times fi$
但是呢，我们可以把若干个任务并做一个，费用系数，完成耗时都求和，只是不需要多次启动机器了
这一看就是线性dp问题，$5000$的数据范围也可以支持$n^2$算法

2暴力算法-线性dp

状态的设置很简单，设$d{p}_i$为做完前$i$个任务的最短耗时
怎么转移，首先枚举$d{p}_j$
$d{p}_j$转移到$d{p}_i$需要加些什么？
首先，加上机器启动时间，我们直接把之后所有的费用系数求和再乘以机器启动时间，这就是无后效性
然后，我们考虑$j+1$到$i$的任务合并，所有耗时求和再乘上费用系数求和
因为之前任务已经花费的时间会算到当前任务上，且启动机器时间已经算过了
我们把$1-i$的所有任务耗时求和乘以费用系数即可
上述内容频繁用到求和，可以使用前缀和优化
这个程序很简单，直接附代码(c++)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,s;
int t[114514],c[114514];
long long dp[114514],sumt[114514],sumc[114514];
int main(){memset(dp,0x3f,sizeof(dp));dp[0] = 0;cin>>n>>s;for(int i = 1;i<=n;i++){cin>>t[i]>>c[i];sumt[i] = sumt[i-1]+t[i];sumc[i] = sumc[i-1]+c[i];}for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j = 0;j<i;j++){dp[i] = min(dp[i],dp[j]+sumc[i]*sumt[i]+s*sumc[n]-sumc[j]*(sumt[i]+s));}}cout<<dp[n];return 0;
}

你会发现你AC了，算法的复杂度$n^2$，是正确的
但是这是一道蓝题，肯定不止这点

3斜率优化线性dp

我们发现，枚举$i$必然不可避免，但是枚举$j$就多余了
我们如果能像单调队列优化dp那样直接省去枚举该多好
从状态转移方程入手
先观察
$dp[i]=dp[j]+sumc[i]\ast sumt[i]+s\ast sumc[n]-sumc[j]\ast (sumt[i]+s)$
移项得
$dp[j]=(sumt[i]+s)\ast sumc[j]+dp[i]-sumt[i]\ast sumc[i]-s\ast sumc[n]$
很容易发现，$(sumt[i]+s)$和$(dp[i]-sumt[i]\ast sumc[i]-s\ast sumc[n])$固定，在枚举$j$的时候，变化的只有$dp[j]$和$sumc[j]$，这不就是一次函数吗，$y=kx+b$，那么，要让dp[i]尽可能小
$dp[j]$和$(sumt[i]+s)\ast sumc[j]$就要尽量接近
我们试着画图

哪个点距离一次函数最近就很明显了
那这有啥用呢
我们可以删去部分点了
用不同斜率的直线尝试求解，删去没有用的点

显然的，一个下凸包，我们动态维护凸包，这样就有了单调性
那么哪个点离直线最近呢，显然是连接两条斜率分别大于和小于当前直线的线段的点
这就可以跑二分了
时间复杂度$nlogn$，快了很多
还能再快吗，可以！
我们发现所有费用系数都是正整数，$s$也不变，那么前缀和即$sumc$必然单调递增
直线的斜率也自然是单调递增
这就可以用单调队列维护了，斜率单调递增就行
对于新插入的点，肯定是斜率越小越好，这下动态维护下凸包也可以一并解决
斜率的比较最好交叉相乘，避免误差
附代码(c++)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 300010;
int n,s;
LL c[N],t[N];
LL dp[N];
int q[N];
int main(){cin>>n>>s;for(int i = 1;i<=n;i++){cin>>t[i]>>c[i];t[i]+=t[i-1];c[i]+=c[i-1];}int hh = 0,tt = 0;dp[0] = 0;for(int i = 1;i<=n;i++){while(hh<tt&&((dp[q[hh+1]])-dp[q[hh]])<=(t[i]+s)*(c[q[hh+1]]-c[q[hh]])){hh++;}int j = q[hh];dp[i] = dp[j]-(t[i]+s)*c[j]+t[i]*c[i]+s*c[n];while(hh<tt&&((dp[q[tt]])-dp[q[tt-1]])*(c[i]-c[q[tt]])>=(dp[i]-dp[q[tt]])*(c[q[tt]]-c[q[tt-1]])){tt--;}q[++tt] = i;}cout<<dp[n];return 0;
}

4后记

斜率优化代表着本蒟蒻动态规划系列作品的结束
之后还会有插头dp，四边形不等式等内容
不过我太蒻了暂时学不会
本文作者是蒟蒻，如有错误请各位神犇指点
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这篇关于论斜率优化dp的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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